Mostre que, para a linha de 21,1 \mathrm{~cm} muito usada por radioastrônomos, o deslocamento da freqüência Doppler em kHz pode ser convertido em uma velocidade radial em km/s multiplicando-se por 0,211 , desde que u \ll c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a aproximação não relativística ( u\ll c), que para a linha de comprimento de onda \lambda_{0}=21,1\:\mathrm{cm} a velocidade radial u (em km/s) se obtém multiplicando-se o deslocamento de frequência \Delta f (em kHz) por 0,211. Vamos usar a fórmula do efeito Doppler para ondas eletromagnéticas em primeira ordem em u/c.

Passo 2

A versão não relativística do efeito Doppler para ondas eletromagnéticas dá
\frac{\Delta f}{f_{0}}=\frac{u}{c},
onde f_{0} é a frequência de repouso ( f_{0}=c/\lambda_{0}), \Delta f=f-f_{0} e c é a velocidade da luz.

Passo 3

Isolando u na equação anterior, obtemos
u = c\,\frac{\Delta f}{f_{0}}.

Passo 4

Substituindo f_{0}=c/\lambda_{0} em u, vem
u = c\,\frac{\Delta f}{\,c/\lambda_{0}\,} = \lambda_{0}\,\Delta f.
Aqui u fica em metros por segundo se \lambda_{0} estiver em metros e \Delta f em hertz.

Passo 5

Agora cuidamos das unidades:
  • \lambda_{0}=21,1\:\mathrm{cm}=0,211\:\mathrm{m}.
  • \Delta f em kHz significa \Delta f (kHz) \times1000 Hz.
  • Para passar de m/s a km/s, divide-se por 1000.
Logo, da relação u(\mathrm{m/s})=\lambda_{0}(\mathrm{m})\times\Delta f(\mathrm{Hz}) temos
u(\mathrm{km/s}) =\frac{\lambda_{0}(\mathrm{m})\times\bigl[\Delta f(\mathrm{kHz})\times1000\bigr]}{1000} =\lambda_{0}(\mathrm{m})\;\Delta f(\mathrm{kHz}).

Passo 6

Bastou notar que \lambda_{0}=0,211\:\mathrm{m}. Portanto
u(\mathrm{km/s})=0,211\;\Delta f(\mathrm{kHz}).

Resposta

Para a linha de \,21,1\:\mathrm{cm}, a conversão fica
u(\mathrm{km/s})=0{,}211\;\Delta f(\mathrm{kHz}),
isto é, basta multiplicar o deslocamento em kHz por 0{,}211.

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