Um satélite da Terra, transmitindo em uma freqüência de 40 MHz , passa diretamente sobre uma estação receptora de rádio a uma altitude de 400 km e a uma velocidade de 2,8 \times 10^{4} \mathrm{~km} / h. Desenhe em um gráfico a variação na freqüência, atribuída ao efeito Doppler, como uma função do tempo, estabelecendo t=0 como o instante em que o satélite está sobre a estação. (Sugestão: A velocidade na fórmula de Doppler não é a velocidade real do satélite, mas a sua componente na direção da estação. Despreze a curvatura da Terra e a da órbita do satélite.)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a frequência recebida f'(t) de um satélite que transmite em \;f_{0}=40\;\mathrm{MHz}, passando a h=400\;\mathrm{km} de altitude acima da estação, com velocidade escalar v=2{,}8\times10^{4}\;\mathrm{km/h}. O conteúdo envolvido é o efeito Doppler para fonte móvel e precisamos usar a componente radial da velocidade em relação à estação receptora.

Passo 2

Escolhemos um eixo x horizontal, com x=0 no instante t=0 (satélite exatamente acima da estação) e x=vt em geral. A distância entre o satélite e a estação é
r(t)=\sqrt{h^{2}+\bigl(vt\bigr)^{2}}\,.

Passo 3

A componente radial da velocidade é a taxa de variação da distância, isto é
\frac{dr}{dt} =\frac{d}{dt}\sqrt{h^{2}+v^{2}t^{2}} =\frac{v^{2}t}{\sqrt{h^{2}+v^{2}t^{2}}}\,.

Passo 4

Para v\ll c (sendo c\approx3{,}0\times10^{8}\;\mathrm{m/s}), a fórmula aproximada do Doppler para fonte móvel e receptor em repouso é
f'(t)\approx f_{0}\,\Bigl(1-\frac{1}{c}\,\frac{dr}{dt}\Bigr) =f_{0}\Bigl(1-\frac{v^{2}t}{c\sqrt{h^{2}+v^{2}t^{2}}}\Bigr).

Passo 5

Convertendo unidades:
v=2{,}8\times10^{4}\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} =7{,}78\times10^{3}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}, \quad h=400\times10^{3}\,\mathrm{m}.
Então a expressão final é
f'(t) =40\times10^{6}\,\mathrm{Hz}\,\Bigl(1 -\frac{(7{,}78\times10^{3})^{2}\,t} {3{,}0\times10^{8}\,\sqrt{(400\times10^{3})^{2}+(7{,}78\times10^{3}\,t)^{2}}}\Bigr).

Passo 6

Em t\to-\infty (approach límitado), \frac{dr}{dt}\to v e
f'(-\infty)\approx f_{0}\Bigl(1-\frac{v}{c}\Bigr) =40\;\mathrm{MHz}\Bigl(1-2{,}59\times10^{-5}\Bigr) \approx40{,}000{,}000-1\,036\;\mathrm{Hz} \approx39{,}998\,964\;\mathrm{kHz}
mas note o sinal: para t\ll0 o satélite se aproxima, então o shift é positivo e
f'_{\max}\approx f_{0}\Bigl(1+\frac{v}{c}\Bigr) \approx40{,}000{,}000+1\,036\;\mathrm{Hz}.
Analogamente em t\to+\infty a frequência tende a
f'_{\min}\approx f_{0}\Bigl(1-\frac{v}{c}\Bigr) \approx40{,}000{,}000-1\,036\;\mathrm{Hz}.

Passo 7

Esboço do gráfico f'(t) versus t:
  • Eixo horizontal: t (s), com t=0 no instante do sobrevoo.
  • Eixo vertical: f' (MHz), partindo de 40{,}001036 MHz em t\ll0, decrescendo suavemente até 40{,}000000 MHz em t=0, e continuando a decair assintoticamente a 39{,}998964 MHz em t\gg0.
  • A curva é ímpar em relação a t\to -t (mas invertida em sinal do desvio) e varia principalmente em torno de |t|\lesssim h/v\approx51\;\mathrm{s}.

Resposta

O gráfico de f'(t) é uma curva suave que parte de
f'(-\infty)\approx40{,}001036\;\mathrm{MHz},
desce até
f'(0)=40{,}000000\;\mathrm{MHz},
e tende a
f'(+\infty)\approx39{,}998964\;\mathrm{MHz},
com forma definida por
f'(t)=40\times10^{6}\Bigl(1-\frac{(7{,}78\times10^{3})^{2}\,t}{3{,}0\times10^{8}\sqrt{(4\times10^{5})^{2}+(7{,}78\times10^{3}\,t)^{2}}}\Bigr).

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