Mostre que
\log (1+i)^{2}=2 \log (1+i);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \log(1+i)^{2}=2\log(1+i).
Informações dadas: o número complexo (1+i) e a função \log aplicada a números complexos.
Observação imediata que vamos usar depois: podemos calcular diretamente (1+i)^{2} algebraicamente.

Passo 2

Antes de mexer com contas, preciso te lembrar como é definida a função logarítmica no plano complexo (explicação didática).
A versão geral (multi‑valorada) do logarítmo complexo é
\log z = \ln|z| + i(\arg z + 2\pi k),
onde |z| é o módulo de z, \arg z é um argumento particular de z (um ângulo que satisfaz z=|z|e^{i\arg z}) e k\in\mathbb{Z} indica os possíveis ramos (porque podemos somar 2\pi ao argumento sem mudar o número complexo).
A versão principal (unívoca) usa \mathrm{Arg}\,z\in(-\pi,\pi] e escreve-se
\mathrm{Log}\,z = \ln|z| + i\mathrm{Arg}\,z.
Resumo prático: sempre que vir \log em complexos, lembra que aparece um termo +2\pi i k — então igualdades com log devem checar os ramos.

Passo 3

Calculemos primeiro (1+i)^{2} algebricamente (conta simples, passo a passo):
(1+i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 1 + 2i -1 = 2i.
Portanto o problema equivale a mostrar \log(2i)=2\log(1+i).

Passo 4

Agora vamos escrever \log(2i) na forma multi‑valorada. O módulo de 2i é |2i|=2. Um argumento de 2i é \pi/2 (pois 2i aponta para cima no eixo imaginário), logo todos os argumentos possíveis são \pi/2+2\pi m com m\in\mathbb{Z}. Assim
\log(2i)=\ln 2 + i\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi m\bigr),\qquad m\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Agora calculemos \log(1+i) na forma multi‑valorada. O módulo de 1+i é |1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}. Um argumento de 1+i é \pi/4, então os argumentos possíveis são \pi/4+2\pi k com k\in\mathbb{Z}. Logo
\log(1+i)=\ln\sqrt{2} + i\bigl(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\bigr).
Como \ln\sqrt{2}=\tfrac{1}{2}\ln 2, ao multiplicar por 2 obtemos
2\log(1+i)=2\cdot\Bigl(\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\bigl(\tfrac{\pi}{4}+2\pi k\bigr)\Bigr) =\ln 2 + i\bigl(\tfrac{\pi}{2}+4\pi k\bigr),\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Compare as duas expressões:
\log(2i)=\ln 2 + i\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi m\bigr) \qquad\text{e}\qquad 2\log(1+i)=\ln 2 + i\bigl(\tfrac{\pi}{2}+4\pi k\bigr).
Para que os dois sejam iguais basta que exista k,m\in\mathbb{Z} com \tfrac{\pi}{2}+2\pi m=\tfrac{\pi}{2}+4\pi k, isto é 2\pi m=4\pi k, ou seja m=2k. Como k é inteiro, podemos escolher m=2k sempre. Portanto, para ramos compatíveis (escolhendo m=2k) temos
\log(2i)=2\log(1+i).
Isto mostra a igualdade pedida, levando em conta a natureza multi‑valorada do log.

Passo 7

Comentário final prático (ajuda na prova): se você usar o ramo principal (onde \mathrm{Arg}\in(-\pi,\pi]), então \mathrm{Arg}(1+i)=\tfrac{\pi}{4} e \mathrm{Arg}(2i)=\tfrac{\pi}{2}, e as contas ficam sem ambiguidades:
\mathrm{Log}(1+i)=\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\tfrac{\pi}{4}, \qquad \mathrm{Log}(2i)=\ln 2 + i\tfrac{\pi}{2},
e aí claramente \mathrm{Log}(2i)=2\,\mathrm{Log}(1+i). Ou seja, a igualdade vale em particular para o ramo principal — boa notícia para provas que usam \log no sentido principal.

Resposta

\log(2i)=\ln 2 + i\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi m\bigr)=2\log(1+i)=\ln 2 + i\bigl(\tfrac{\pi}{2}+4\pi k\bigr) com m=2k, em particular no ramo principal ambos valem \ln 2 + i\tfrac{\pi}{2}.

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