Mostre que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
.
Informações dadas: o número complexo e a função
aplicada a números complexos.
Observação imediata que vamos usar depois: podemos calcular diretamente algebraicamente.
Informações dadas: o número complexo
Observação imediata que vamos usar depois: podemos calcular diretamente
Passo 2
Antes de mexer com contas, preciso te lembrar como é definida a função logarítmica no plano complexo (explicação didática).
A versão geral (multi‑valorada) do logarítmo complexo é
A versão geral (multi‑valorada) do logarítmo complexo é
onde
é o módulo de
,
é um argumento particular de
(um ângulo que satisfaz
) e
indica os possíveis ramos (porque podemos somar
ao argumento sem mudar o número complexo).
A versão principal (unívoca) usa e escreve-se
A versão principal (unívoca) usa
Resumo prático: sempre que vir
em complexos, lembra que aparece um termo
— então igualdades com log devem checar os ramos.
Passo 3
Calculemos primeiro
algebricamente (conta simples, passo a passo):
Portanto o problema equivale a mostrar
.
Passo 4
Agora vamos escrever
na forma multi‑valorada. O módulo de
é
. Um argumento de
é
(pois
aponta para cima no eixo imaginário), logo todos os argumentos possíveis são
com
. Assim
Passo 5
Agora calculemos
na forma multi‑valorada. O módulo de
é
. Um argumento de
é
, então os argumentos possíveis são
com
. Logo
Como
, ao multiplicar por
obtemos
Passo 6
Compare as duas expressões:
Para que os dois sejam iguais basta que exista
com
, isto é
, ou seja
. Como
é inteiro, podemos escolher
sempre. Portanto, para ramos compatíveis (escolhendo
) temos
Isto mostra a igualdade pedida, levando em conta a natureza multi‑valorada do log.
Passo 7
Comentário final prático (ajuda na prova): se você usar o ramo principal (onde
), então
e
, e as contas ficam sem ambiguidades:
e aí claramente
. Ou seja, a igualdade vale em particular para o ramo principal — boa notícia para provas que usam
no sentido principal.