que se
e
, então
Passo 1
Neste exercício, queremos mostrar que, para dois números complexos
e
com parte real positiva, vale a propriedade do logaritmo principal:
. O conteúdo principal aqui é a definição do logaritmo complexo principal, que usa módulo e argumento, e precisamos das propriedades
e da aditividade dos argumentos quando não ultrapassam o intervalo
.
Passo 2
Começamos definindo o logaritmo principal de um número complexo
. Pela definição,
em que é o argumento principal de
, isto é, o ângulo em
tal que .
Passo 3
Como
e
, os argumentos principais satisfazem
Isso garante que a soma dos argumentos também fique dentro de
, ou seja,
Passo 4
Agora usamos as propriedades de módulo e argumento do produto de complexos:
Passo 5
Aplicando a definição de
ao produto, temos
Substituindo as propriedades,
Passo 6
Como
e distribuindo o
, obtemos
Reconhecendo cada parêntese como
e
, concluímos