Mostre que se Re(z1)>0 e Re(z2)>0, então
log (z1 z2)=log (z1)+log (z2)

Passo 1

Neste exercício, queremos mostrar que, para dois números complexos z1 e z2 com parte real positiva, vale a propriedade do logaritmo principal: log(z1 z2)=log(z1)+log(z2). O conteúdo principal aqui é a definição do logaritmo complexo principal, que usa módulo e argumento, e precisamos das propriedades |z1z2|=|z1|,|z2| e da aditividade dos argumentos quando não ultrapassam o intervalo (-pi,pi).

Passo 2

Começamos definindo o logaritmo principal de um número complexo z. Pela definição,
em que é o argumento principal de log(z)=ln|z| + iArg(z),, isto é, o ângulo em Arg(z) tal que .

Passo 3

Como Re(z1)>0 e Re(z2)>0, os argumentos principais satisfazem
Isso garante que a soma dos argumentos também fique dentro de Arg(z1),Arg(z2)inl(-tfracpi2,tfracpi2r), ou seja,

Passo 4

Agora usamos as propriedades de módulo e argumento do produto de complexos:
|z1z2|=|z1|,|z2|,

Passo 5

Aplicando a definição de log ao produto, temos
Substituindo as propriedades,

Passo 6

Como ln(|z1|,|z2|)=ln|z1|+ln|z2| e distribuindo o i, obtemos
Reconhecendo cada parêntese como log(z1z2)=l(ln|z1|+iArg(z1)r)+l(ln|z2|+iArg(z2)r) e log(z1), concluímos
log(z2)

Resposta

log(z1z2)=log(z1)+log(z2)

Exercícios relacionados