Mostre que a função f(z)=exp barz não é analítica em nenhum ponto.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(z)=exp(\bar z) não é analítica em nenhum ponto do plano. O conteúdo é análise complexa, mais especificamente a definição de função analítica e as condições de Cauchy–Riemann. Vamos precisar reescrever f em termos de x e y e verificar essas condições.

Passo 2

Escrevendo z = x + i y, temos bar z = x - i y. Logo
f(z)=e^bar z=e^x-i y=e^x,e^-i y,podemos então separar em parte real e imaginária definindo
u(x,y)=e^xcos y, v(x,y)=-e^xsin y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
ux=e^xcos y, uy=-e^xsin y, vx=-e^xsin y, vy=-e^xcos y

Passo 4

As condições de Cauchy–Riemann exigem
ux=vye uy=-vx

Passo 5

Substituindo:
e^xcos y=-e^xcos yimplies e^xcos y=0implies cos y=0, -e^xsin y=-(-e^xsin y)implies -e^xsin y=e^xsin yimplies sin y=0

Passo 6

Não existe y que faça simultaneamente cos y=0 e sin y=0. Portanto as condições de Cauchy–Riemann não se satisfazem em nenhum ponto.
Como f tem derivadas parciais contínuas mas falha em satisfazer as condições de Cauchy–Riemann em qualquer (x,y), concluímos que f não é analítica em nenhum ponto do plano.

Resposta

A função f(z)=exp(\bar z) não satisfaz as condições de Cauchy–Riemann em nenhum ponto, logo não é analítica em nenhum ponto do plano.

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