Mostre que a função
não é analítica em nenhum ponto.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função f(z)=exp(\bar z) não é analítica em nenhum ponto do plano. O conteúdo é análise complexa, mais especificamente a definição de função analítica e as condições de Cauchy–Riemann. Vamos precisar reescrever f em termos de x e y e verificar essas condições.
Passo 2
Escrevendo z = x + i y, temos
. Logo
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
As condições de Cauchy–Riemann exigem
Passo 5
Substituindo:
Passo 6
Não existe y que faça simultaneamente
e
. Portanto as condições de Cauchy–Riemann não se satisfazem em nenhum ponto.
Como f tem derivadas parciais contínuas mas falha em satisfazer as condições de Cauchy–Riemann em qualquer (x,y), concluímos que f não é analítica em nenhum ponto do plano.
Como f tem derivadas parciais contínuas mas falha em satisfazer as condições de Cauchy–Riemann em qualquer (x,y), concluímos que f não é analítica em nenhum ponto do plano.
Resposta
A função f(z)=exp(\bar z) não satisfaz as condições de Cauchy–Riemann em nenhum ponto, logo não é analítica em nenhum ponto do plano.