Mostre que o lugar das raízes de um sistema de controle, sendo
é arco de circunferência com centro na origem e raio igual a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o lugar das raízes do sistema em realimentação unitária, com
é um arco de circunferência de centro na origem e raio
. O método é usar a condição característica
, obter
em função de
e impor que
seja real, o que leva a uma relação geométrica no plano
.
Passo 2
A equação característica é
ou seja
Passo 3
Para que
seja real, a parte imaginária de
deve ser zero. Escrevemos
Então
Impondo
é equivalente a
Passo 4
Substituindo
e fatorando
, chega-se a
Para as partes complexas não triviais
o colchete anula-se, resultando em
Passo 5
A equação
descreve uma circunferência de centro na origem e raio
. Logo, o lugar das raízes não-reais desse sistema é exatamente um arco dessa circunferência.
Resposta
O lugar das raízes forma um arco de circunferência de centro na origem e raio
.