Mostre que o lugar das raízes de um sistema de controle, sendo
G(s)=\frac{K\left(s^{2}+6 s+10\right)}{s^{2}+2 s+10}, \quad H(s)=1
é arco de circunferência com centro na origem e raio igual a \sqrt{10}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o lugar das raízes do sistema em realimentação unitária, com
G(s)=\frac{K\bigl(s^{2}+6s+10\bigr)}{s^{2}+2s+10},\quad H(s)=1,
é um arco de circunferência de centro na origem e raio \sqrt{10}. O método é usar a condição característica 1+G(s)H(s)=0, obter K em função de s e impor que K seja real, o que leva a uma relação geométrica no plano s=\sigma+j\omega.

Passo 2

A equação característica é
1+\frac{K\bigl(s^{2}+6s+10\bigr)}{s^{2}+2s+10}=0
ou seja
\frac{s^{2}+2s+10 + K\bigl(s^{2}+6s+10\bigr)}{s^{2}+2s+10}=0 \quad\Longrightarrow\quad K=-\,\frac{s^{2}+2s+10}{s^{2}+6s+10}\,.

Passo 3

Para que K seja real, a parte imaginária de -\frac{s^{2}+2s+10}{s^{2}+6s+10} deve ser zero. Escrevemos
s = x + jy,\quad s^{2} = (x^{2}-y^{2}) + j\,2xy.
Então
N(s)=s^{2}+2s+10 = \bigl(x^{2}-y^{2}+2x+10\bigr) + j\,(2xy+2y),
D(s)=s^{2}+6s+10 = \bigl(x^{2}-y^{2}+6x+10\bigr) + j\,(2xy+6y).
Impondo \Im\bigl(-D(s)/N(s)\bigr)=0 é equivalente a
\Im\{D(s)\}\,\Re\{N(s)\}\;-\;\Re\{D(s)\}\,\Im\{N(s)\}=0.

Passo 4

Substituindo \Re\{N\},\Im\{N\},\Re\{D\},\Im\{D\} e fatorando 2y, chega-se a
2y\bigl[(x+1)(x^{2}-y^{2}+6x+10)-(x+3)(x^{2}-y^{2}+2x+10)\bigr]=0.
Para as partes complexas não triviais y\neq0 o colchete anula-se, resultando em
2x^{2}+2y^{2}-20=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=10.

Passo 5

A equação x^{2}+y^{2}=10 descreve uma circunferência de centro na origem e raio \sqrt{10}. Logo, o lugar das raízes não-reais desse sistema é exatamente um arco dessa circunferência.

Resposta

O lugar das raízes forma um arco de circunferência de centro na origem e raio \sqrt{10}.

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