(2,0 pts. ) Usando Cálculo Variacional achar a curva que tem a distância mais curta entre dois pontos
e
na superfície
. A distância entre dois pontos numa superfície é determinada pela fórmula:
Passo 1
O enunciado pede a curva que liga
a
sobre a superfície
minimizando o comprimento
Vamos usar Cálculo Variacional: como o funcional não depende explicitamente de
nem de
, as equações de Euler–Lagrange garantem que
e
sejam constantes, o que implica que
e
são constantes.
Passo 2
Como
e
são constantes, a curva é um segmento de reta em
. Então escrevemos
e impomos a condição de pertencer à superfície para todo
:
Isto gera as equações
Passo 3
Impondo as condições de contorno:
Verificamos que
e
, conforme exigido.
Passo 4
Portanto a curva ótima é
para
variando de
até
.
Resposta
A curva de distância mínima é dada por