(2,0 pts. ) Usando Cálculo Variacional achar a curva que tem a distância mais curta entre dois pontos A(3,0,0) e B(0,0,1) na superfície x / 3+y / 2+z=1. A distância entre dois pontos numa superfície é determinada pela fórmula:
L[y, z]=\int_{x_{0}}^{x_{1}} \sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}+\left(z^{\prime}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a curva que liga A(3,0,0) a B(0,0,1) sobre a superfície
\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+z=1
minimizando o comprimento
L[y,z]=\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+(y')^2+(z')^2}\,dx.
Vamos usar Cálculo Variacional: como o funcional não depende explicitamente de y nem de z, as equações de Euler–Lagrange garantem que \partial F/\partial y' e \partial F/\partial z' sejam constantes, o que implica que y' e z' são constantes.

Passo 2

Como y' e z' são constantes, a curva é um segmento de reta em \mathbb{R}^3. Então escrevemos
y(x)=m\,x+b, \qquad z(x)=n\,x+d,
e impomos a condição de pertencer à superfície para todo x:
\frac{x}{3}+\frac{m\,x+b}{2}+n\,x+d=1 \;\Longrightarrow\; x\Bigl(\tfrac13+\tfrac m2+n\Bigr)+(b/2+d)=1.
Isto gera as equações
\tfrac13+\tfrac m2+n=0, \qquad \tfrac b2+d=1.

Passo 3

Impondo as condições de contorno:
y(0)=0\implies b=0,\quad z(0)=1\implies d=1,
y(3)=0\implies 3m+b=0\implies m=0, \quad z(3)=0\implies 3n+d=0\implies n=-\tfrac13.
Verificamos que \tfrac13+\tfrac m2+n=\tfrac13+0-\tfrac13=0 e b/2+d=0+1=1, conforme exigido.

Passo 4

Portanto a curva ótima é
y(x)=0, \qquad z(x)=1-\tfrac{x}{3},
para x variando de 3 até 0.

Resposta

A curva de distância mínima é dada por
y(x)=0, \qquad z(x)=1-\frac{x}{3}.

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