(2,0 pts. ) Aplicando o método de Bellman (Programação Dinâmica) projetar o controlador linear quadrático para o seguinte sistema:
\begin{aligned} & \dot{x}_{1}=5 x_{2} \\\ & \dot{x}_{2}=4 x_{1}-u \end{aligned}
minimizando o funcional:
J=\int_{0}^{\infty}\left(9 x_{1}^{2}+10 x_{2}^{2}+u^{2}\right) d t

Passo 1

O sistema é
\dot x = A x + B u,
com
A = \begin{pmatrix}0 & 5 \\[6pt] 4 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 \\[3pt] -1\end{pmatrix},
e queremos minimizar
J = \int_{0}^{\infty}\bigl(x^{T}Qx + u^{2}\bigr)\,dt,
onde
Q = \begin{pmatrix}9 & 0 \\[3pt] 0 & 10\end{pmatrix}, \quad R = 1.
Pelo método de Bellman (LQR contínuo), buscamos uma matriz simétrica positiva P que satisfaça a equação de Riccati algébrica
A^{T}P + P\,A - P\,B\,R^{-1}B^{T}P + Q = 0,
e então o controle ótimo é
u = -R^{-1}B^{T}P\,x.]

Passo 2

Suponha
P = \begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}\\[3pt]p_{12}&p_{22}\end{pmatrix}.
Temos
P\,B = \begin{pmatrix}-p_{12}\\[3pt]-p_{22}\end{pmatrix}, \quad B^{T}P = \bigl[-p_{12}\;\; -p_{22}\bigr],
logo
P\,B\,B^{T}P = \begin{pmatrix}p_{12}^{2}&p_{12}p_{22}\\[3pt]p_{12}p_{22}&p_{22}^{2}\end{pmatrix}.
Também
A^{T}P + P\,A = \begin{pmatrix}8\,p_{12}&4\,p_{22}+5\,p_{11}\\[3pt]5\,p_{11}+4\,p_{22}&10\,p_{12}\end{pmatrix}.
Subsituindo em
A^{T}P + P\,A - P\,B\,B^{T}P + Q = 0
obtemos o sistema
\begin{cases} 8\,p_{12} + 9 - p_{12}^{2} = 0,\\[3pt] 4\,p_{22}+5\,p_{11} - p_{12}p_{22} = 0,\\[3pt] 10\,p_{12} +10 - p_{22}^{2} = 0. \end{cases}]

Passo 3

Da primeira equação
p_{12}^{2} -8\,p_{12} -9=0 \;\Longrightarrow\; p_{12} = \frac{8\pm10}{2} = 9\\ \text{ou}\\\ -1.
Para P positiva definida escolhemos p_{12}=9.

Passo 4

Com p_{12}=9, da terceira equação
p_{22}^{2} =10\,p_{12}+10 =100 \;\Longrightarrow\; p_{22}=10
(escolhemos o sinal positivo para P\succ0).
Então da segunda equação
5\,p_{11} +4\,p_{22} - p_{12}p_{22} =0 \;\Longrightarrow\; p_{11} = \frac{p_{22}(p_{12}-4)}{5} = \frac{10\cdot5}{5}=10.
Logo
P = \begin{pmatrix}10 & 9 \\[3pt]9 & 10\end{pmatrix},
que é positiva definida.]

Passo 5

O ganho de realimentação é
K = R^{-1}B^{T}P = [-p_{12}\;\; -p_{22}] = [-9\;\;-10],
e o controle ótimo
u = -K\,x = 9\,x_{1} + 10\,x_{2}.

Resposta

u = 9\,x_{1} + 10\,x_{2}.

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