1.2.1 (a) Mostre que a magnitude de um vetor
é independente da orientação do sistema de coordenadas rotacionado,
isto é, independente do ângulo de rotação
. Essa independência do ângulo é expressa dizendo que A é invariante sob rotações.
(b) Em um dado ponto (
), o vetor
define um ângulo
em relação ao eixo
positivo, e
em relação ao eixo
positivo. O ângulo de rotação de
para
é
. Mostre que
define a mesma direção no espaço quando expresso em termos de suas componentes com apóstrofo (rotacionadas) ou sem apóstrofo (originais); isto é,
(b) Em um dado ponto (
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre um vetor
num plano quando mudamos de um sistema de coordenadas
para outro girado de um ângulo
, chamado
.
(a) Mostrar que o comprimento
(a) Mostrar que o comprimento
é o mesmo se usado
Esse é o conteúdo de invariância de magnitude sob rotações.
(b) Mostrar que o vetor aponta no mesmo sentido, ou seja, se em ele faz um ângulo
com
positivo e em
faz
, então
(b) Mostrar que o vetor aponta no mesmo sentido, ou seja, se em
Passo 2
Escrevemos a relação de componentes de
sob rotação de eixos em
. Pela definição de matriz de rotação, temos
Passo 3
Para ver que
, calculamos
Expandindo cada quadrado e somando, agrupamos termos em
,
e
. Usando
e
, obtemos
Logo
prova da invariância da magnitude.
Passo 4
Definimos os ângulos por
Substituindo
e
do Passo 2, temos
Mas pelo formato da tangente de diferença de ângulos,
e como
, concluímos
Resposta
(a)
(b)
(b)