1.2.1 (a) Mostre que a magnitude de um vetor \mathbf{A}, A=\left(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}\right)^{1 / 2} é independente da orientação do sistema de coordenadas rotacionado,
\left(A_{x}^{2}+A_{y}^{2}\right)^{1 / 2}=\left(A_{x}^{\prime 2}+A_{y}^{\prime 2}\right)^{1 / 2}
isto é, independente do ângulo de rotação \varphi. Essa independência do ângulo é expressa dizendo que A é invariante sob rotações.
(b) Em um dado ponto ( x, y ), o vetor A define um ângulo \alpha em relação ao eixo x positivo, e \alpha^{\prime} em relação ao eixo x^{\prime} positivo. O ângulo de rotação de x para x^{\prime} é \varphi. Mostre que \mathbf{A}=\mathbf{A}^{\prime} define a mesma direção no espaço quando expresso em termos de suas componentes com apóstrofo (rotacionadas) ou sem apóstrofo (originais); isto é,
\alpha^{\prime}=\alpha-\varphi

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre um vetor \mathbf{A} num plano quando mudamos de um sistema de coordenadas (x,y) para outro girado de um ângulo \varphi, chamado (x',y').
(a) Mostrar que o comprimento
A = \bigl(A_x^2 + A_y^2\bigr)^{1/2}
é o mesmo se usado
A' = \bigl(A_{x}'^{\,2} + A_{y}'^{\,2}\bigr)^{1/2}.
Esse é o conteúdo de invariância de magnitude sob rotações.
(b) Mostrar que o vetor aponta no mesmo sentido, ou seja, se em (x,y) ele faz um ângulo \alpha com x positivo e em (x',y') faz \alpha', então
\alpha' = \alpha - \varphi.

Passo 2

Escrevemos a relação de componentes de \mathbf{A} sob rotação de eixos em \varphi. Pela definição de matriz de rotação, temos
A_x' = A_x\cos\varphi + A_y\sin\varphi, \qquad A_y' = -A_x\sin\varphi + A_y\cos\varphi.

Passo 3

Para ver que A' = A, calculamos
A_x'^{\,2} + A_y'^{\,2} = \bigl(A_x\cos\varphi + A_y\sin\varphi\bigr)^{2} + \bigl(-A_x\sin\varphi + A_y\cos\varphi\bigr)^{2}.
Expandindo cada quadrado e somando, agrupamos termos em A_x^2, A_y^2 e A_xA_y. Usando \cos^2\varphi + \sin^2\varphi=1 e 2\sin\varphi\cos\varphi-2\sin\varphi\cos\varphi=0, obtemos
A_x'^{\,2} + A_y'^{\,2} = A_x^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi) + A_y^2(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi) = A_x^2 + A_y^2.
Logo
\bigl(A_x'^{\,2} + A_y'^{\,2}\bigr)^{1/2} = \bigl(A_x^2 + A_y^2\bigr)^{1/2},
prova da invariância da magnitude.

Passo 4

Definimos os ângulos por
\alpha = \arctan\frac{A_y}{A_x}, \qquad \alpha' = \arctan\frac{A_y'}{A_x'}.
Substituindo A_x' e A_y' do Passo 2, temos
\frac{A_y'}{A_x'} = \frac{-A_x\sin\varphi + A_y\cos\varphi} {A_x\cos\varphi + A_y\sin\varphi} = \frac{\displaystyle\frac{A_y}{A_x} - \tan\varphi} {1 + \displaystyle\frac{A_y}{A_x}\tan\varphi}.
Mas pelo formato da tangente de diferença de ângulos,
\tan(\alpha - \varphi) = \frac{\tan\alpha - \tan\varphi}{1 + \tan\alpha\,\tan\varphi},
e como \tan\alpha = A_y/A_x, concluímos
\frac{A_y'}{A_x'} = \tan(\alpha - \varphi) \quad\Longrightarrow\quad \alpha' = \alpha - \varphi.

Resposta

(a) \displaystyle\bigl(A_x^2 + A_y^2\bigr)^{1/2} = \bigl(A_x'^{\,2} + A_y'^{\,2}\bigr)^{1/2}.
(b) \displaystyle\alpha' = \alpha - \varphi.

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