O vetor \mathbf{r}, partindo da origem, termina e especifica o ponto no espaço ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ). Encontre a superfície varrida pela extremidade de \mathbf{r} se: O vetor a é constante (em magnitude e direção).
(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{a}=0. Caracterize isso geometricamente.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição \mathbf{r}=(x,y,z) e um vetor constante \mathbf{a}. Queremos determinar a superfície descrita pelos pontos \mathbf{r} que satisfazem
(\mathbf{r}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{a}=0.
O conteúdo principal é reconhecer que produto escalar nulo indica ortogonalidade e que equações lineares em \mathbf{r} definem planos em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Expandindo o produto escalar,
(\mathbf{r}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{a} =\mathbf{r}\cdot\mathbf{a}-\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} =0 \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{r}\cdot\mathbf{a}=\|\mathbf{a}\|^2.
Essa é justamente a forma geral de um plano: \mathbf{n}\cdot\mathbf{r}=d, com normal \mathbf{n} e constante d.

Passo 3

Aqui \mathbf{n}=\mathbf{a} e d=\|\mathbf{a}\|^2. O deslocamento do plano ao longo de \mathbf{a} mede-se por
\text{distância}=\frac{d}{\|\mathbf{n}\|}=\frac{\|\mathbf{a}\|^2}{\|\mathbf{a}\|}=\|\mathbf{a}\|.â
Logo, o plano é perpendicular a \mathbf{a} e fica a uma distância \|\mathbf{a}\| da origem, passando exatamente pelo ponto \mathbf{a}.

Resposta

A superfície é o plano perpendicular ao vetor \mathbf{a} que passa pelo ponto \mathbf{a}, isto é, o conjunto de \mathbf{r} tal que
\mathbf{r}\cdot\mathbf{a}=\|\mathbf{a}\|^2.

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