1.3.6 Encontre a menor distância de um observador no ponto
até um foguete em voo livre com velocidade
. O foguete foi lançado no instante
a partir de
. (As distâncias estão em quilômetros.)
Passo 1
O problema pede a menor distância entre um ponto fixo
km (o observador) e a trajetória retilínea de um foguete que, a partir de
km em
, move-se com velocidade constante
m/s. Como as posições estão em quilômetros, é mais simples converter a velocidade para km/s, depois montar a equação paramétrica do foguete e minimizarmos a distância até
.
Passo 2
Convertemos a velocidade para km/s dividindo por
:
A posição do foguete em função do tempo
(em segundos) é
Definimos o vetor diferença até o observador
Passo 3
A distância ao quadrado é
Para minimizar, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Isso leva a
Passo 4
Como
s é não negativo, é o instante do mínimo. Substituímos em
:
A distância mínima é
Resposta
A menor distância é aproximadamente
km.