1.3.6 Encontre a menor distância de um observador no ponto (2,1,3) até um foguete em voo livre com velocidade (1,2,3) \mathrm{m} / \mathrm{s}. O foguete foi lançado no instante \mathrm{t}=0 a partir de (1,1,1). (As distâncias estão em quilômetros.)

Passo 1

O problema pede a menor distância entre um ponto fixo P=(2,1,3) km (o observador) e a trajetória retilínea de um foguete que, a partir de Q=(1,1,1) km em t=0, move-se com velocidade constante (1,2,3) m/s. Como as posições estão em quilômetros, é mais simples converter a velocidade para km/s, depois montar a equação paramétrica do foguete e minimizarmos a distância até P.

Passo 2

Convertemos a velocidade para km/s dividindo por 1000:
v = \bigl(1,2,3\bigr)\,\text{m/s} = \bigl(0{,}001,\;0{,}002,\;0{,}003\bigr)\,\text{km/s}.
A posição do foguete em função do tempo t (em segundos) é
R(t)=Q + v\,t = (1,1,1) + (0{,}001,\;0{,}002,\;0{,}003)\,t.
Definimos o vetor diferença até o observador
\Delta(t)=R(t)-P=\bigl(1,1,1\bigr)-(2,1,3)+v\,t = (-1,0,-2)+ (0{,}001,0{,}002,0{,}003)\,t.

Passo 3

A distância ao quadrado é
d^2(t)=\|\Delta(t)\|^2 = \bigl(-1+0{,}001\,t\bigr)^2 + \bigl(0+0{,}002\,t\bigr)^2 + \bigl(-2+0{,}003\,t\bigr)^2.
Para minimizar, derivamos em relação a t e igualamos a zero:
\frac{d}{dt}d^2(t) =2\bigl(-1+0{,}001t\bigr)(0{,}001) +2\bigl(0{,}002t\bigr)(0{,}002) +2\bigl(-2+0{,}003t\bigr)(0{,}003) =0.
Isso leva a
(-1)(0{,}001)+(0{,}002t)(0{,}002)+(-2)(0{,}003)+0{,}001^2t+0{,}003^2t=0 \;\Longrightarrow\; t=\frac{-\bigl(-1\cdot0{,}001+(-2)\cdot0{,}003\bigr)}{0{,}001^2+0{,}002^2+0{,}003^2} =\frac{0{,}001+0{,}006}{14\times10^{-6}} =500\\ \text{s}.

Passo 4

Como t=500 s é não negativo, é o instante do mínimo. Substituímos em \Delta(t):
\Delta(500)=(-1,0,-2)+(0{,}001,0{,}002,0{,}003)\times500 =(-1+0{,}5,\;0+1,\;-2+1{,}5)=(-0{,}5,\,1,\,-0{,}5).
A distância mínima é
d_{\min}=\|\Delta(500)\| =\sqrt{(-0{,}5)^2+1^2+(-0{,}5)^2} =\sqrt{1{,}5}\approx1{,}2247\\ \text{km}.

Resposta

A menor distância é aproximadamente 1{,}2247 km.

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