Mostre que se a, b \in \mathbb{R} e k \in \mathbb{R} \backslash\{0\}, então \int_{a}^{b} e^{i k t} d t=\frac{i}{k}\left(e^{i k a}-e^{i k b}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas a,b\in\mathbb{R} e k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, vale
\int_{a}^{b} e^{i k t}\,dt = \frac{i}{k}\bigl(e^{i k a}-e^{i k b}\bigr).
Informações dadas:
  • A função a integrar é t\mapsto e^{i k t}.
  • O parâmetro k é real e diferente de zero (isso garante que 1/(ik) existe).
  • O objetivo é calcular a integral definida de a até b e obter a forma indicada.

Passo 2

Lembra do que é necessário para calcular uma integral definida: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos então achar uma primitiva de e^{i k t}.
Primeiro, calcule a derivada de e^{i k t} em relação a t. Pelo regra da cadeia, a derivada de e^{u(t)} é u'(t)e^{u(t)}. Aqui u(t)=i k t, logo u'(t)=i k. Portanto
\frac{d}{dt}e^{i k t} = i k\,e^{i k t}.

Passo 3

Se \dfrac{d}{dt}e^{i k t}=i k\,e^{i k t}, então uma primitiva de e^{i k t} é dada por dividir e^{i k t} por i k. Ou seja, definir
F(t)=\frac{1}{i k}\,e^{i k t}.
Verificação rápida (mostrando cada passo da conta):
\frac{d}{dt}F(t)=\frac{1}{i k}\cdot\frac{d}{dt}e^{i k t}=\frac{1}{i k}\cdot (i k\,e^{i k t}) = e^{i k t}.
Como k\neq0, a divisão por i k é legítima.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).
Tomando f(t)=e^{i k t} e F(t)=\dfrac{1}{i k}e^{i k t}, obtemos
\int_{a}^{b} e^{i k t}\,dt = \frac{1}{i k}\bigl(e^{i k b}-e^{i k a}\bigr).

Passo 5

Falta apenas manipular algebricamente a expressão para pôr na forma pedida. Note que 1/i = -i porque i\cdot(-i)=-i^2=1. Assim
\frac{1}{i k} = \frac{1}{i}\cdot\frac{1}{k} = -\frac{i}{k}.
Substituindo em \dfrac{1}{i k}\bigl(e^{i k b}-e^{i k a}\bigr) vem
\int_{a}^{b} e^{i k t}\,dt = -\frac{i}{k}\bigl(e^{i k b}-e^{i k a}\bigr) = \frac{i}{k}\bigl(e^{i k a}-e^{i k b}\bigr),
que é exatamente a forma exigida.

Passo 6

Comentário final e lembrete de prova: a razão principal de exigirmos k\neq0 é para garantir que a primitiva \dfrac{1}{i k}e^{i k t} esteja bem definida. Se k=0 então e^{i k t}=e^{0}=1 e \int_a^b 1\,dt=b-a, caso especial simples.

Resposta

\displaystyle \int_{a}^{b} e^{i k t}\,dt=\frac{i}{k}\bigl(e^{i k a}-e^{i k b}\bigr)

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