Mostre que se
e
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas
e
, vale
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O parâmetro
é real e diferente de zero (isso garante que existe). - O objetivo é calcular a integral definida de
até e obter a forma indicada.
Passo 2
Lembra do que é necessário para calcular uma integral definida: encontrar uma primitiva (antiderivada) da função e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos então achar uma primitiva de
.
Primeiro, calcule a derivada de
em relação a
. Pelo regra da cadeia, a derivada de
é
. Aqui
, logo
. Portanto
Passo 3
Se
, então uma primitiva de
é dada por dividir
por
. Ou seja, definir
Verificação rápida (mostrando cada passo da conta):
Como
, a divisão por
é legítima.
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é primitiva de
, então
Tomando
e
, obtemos
Passo 5
Falta apenas manipular algebricamente a expressão para pôr na forma pedida. Note que
porque
. Assim
Substituindo em
vem
que é exatamente a forma exigida.
Passo 6
Comentário final e lembrete de prova: a razão principal de exigirmos
é para garantir que a primitiva
esteja bem definida. Se
então
e
, caso especial simples.