Mostre as seguintes desigualdades:
\left|\int_{C} \frac{1}{z} d z\right| \leq 1, onde C é o segmento de reta que liga 1 a 1+i.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto:
  • Curva C é o segmento de reta que liga 1 a 1+i.
  • Função a integrar: f(z)=\dfrac{1}{z}.
  • Pedido: mostrar que \left|\displaystyle\int_{C}\dfrac{1}{z}\,dz\right|\leq 1.
Lista de dados relevantes extraídos do enunciado:
  • Endpoints do segmento: z(0)=1 e z(1)=1+i.
  • O comprimento do segmento e o comportamento de |z| ao longo de C serão úteis para estimar a integral.

Passo 2

Apresentar e explicar a desigualdade utilizada (desigualdade M\!L para integrais de linha).
  • Teorema (desigualdade M\!L): Se f é contínua em uma curva parametrizada por z(t), t\in[a,b], então
\left|\int_{C} f(z)\,dz\right| \leq \int_{a}^{b} |f(z(t))|\;|z'(t)|\,dt \leq \Big(\max_{t\in[a,b]}|f(z(t))|\Big)\cdot \int_{a}^{b}|z'(t)|\,dt.
  • O que significa cada termo:
    • |f(z(t))| é o módulo do integrando avaliado no ponto da curva.
    • |z'(t)| é a velocidade da parametrização; \int_a^b|z'(t)|\,dt é o comprimento da curva C.
    • \max_{t\in[a,b]}|f(z(t))| é o maior valor absoluto que f atinge sobre a curva (denotaremos por M).
  • Pequena prova (intuição): escrever a integral como \int_a^b f(z(t))z'(t)\,dt e aplicar a desigualdade triangular para integrais reais: \left|\int_a^b g(t)\,dt\right|\le\int_a^b|g(t)|\,dt.

Passo 3

Parametrizar o segmento C e calcular seu comprimento.
  • Parametrização natural do segmento que vai de 1 a 1+i:
z(t)=1+i t,\qquad t\in[0,1].
  • Derivada:
z'(t)=i.
  • Comprimento L de C:
L=\int_{0}^{1}|z'(t)|\,dt=\int_{0}^{1}|i|\,dt=\int_{0}^{1}1\,dt=1.
(Explicação: |i|=1, então o comprimento do segmento é 1.)

Passo 4

Estimar o módulo de f(z)=\dfrac{1}{z} sobre o segmento C.
  • Para t\in[0,1],
|z(t)|=|1+i t|=\sqrt{1+t^{2}}\geq \sqrt{1+0}=1.
  • Portanto
\left|\frac{1}{z(t)}\right|=\frac{1}{|z(t)|}\leq 1.
  • Conclusão: M=\max_{t\in[0,1]}\left|\dfrac{1}{z(t)}\right|\leq 1. (Na verdade o máximo ocorre em t=0 e vale exatamente 1.)

Passo 5

Aplicar a desigualdade M\!L com os valores obtidos.
  • Pela desigualdade M\!L,
\left|\int_{C}\frac{1}{z}\,dz\right| \leq M\cdot L.
  • Substituindo M\leq 1 e L=1,
\left|\int_{C}\frac{1}{z}\,dz\right|\leq 1\cdot 1=1.
Isto prova a desigualdade pedida.

Passo 6

Comentário extra (opcional, para intuição): cálculo explícito da integral
  • Parametrizando e integrando diretamente,
\int_{C}\frac{1}{z}\,dz=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+i t}\,i\,dt.
  • Fazendo a substituição u=1+i t (assim du=i\,dt), obtém-se
\int_{C}\frac{1}{z}\,dz=\int_{u=1}^{u=1+i}\frac{1}{u}\,du=\Log(1+i)-\Log(1),
onde \Log é um logaritmo complexo contínuo ao longo do segmento. Usando a forma polar 1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4},
\Log(1+i)=\ln\!\big(\sqrt{2}\big)+i\frac{\pi}{4}=\tfrac{1}{2}\ln(2)+i\frac{\pi}{4}.
  • O módulo desse valor é
\left|\Log(1+i)\right| =\sqrt{\left(\tfrac{1}{2}\ln(2)\right)^{2}+\left(\tfrac{\pi}{4}\right)^{2}} \approx 0{,}927\ldots,
que confirma numericamente que o módulo é menor do que 1. (Isto é apenas verificação; a prova do problema usa a desigualdade M\!L.)

Resposta

\left|\displaystyle\int_{C}\dfrac{1}{z}\,dz\right|\leq 1

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