Calcule \int_{C} f(z) d z, onde f e C são especificados em cada item:
f(z)=\sqrt{z} e C é o círculo centrado na origem de raio r orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} f(z)\,dz
onde f(z)=\sqrt{z} e C é o círculo centrado na origem de raio r>0, orientado no sentido anti-horário. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
  • A função é f(z)=\sqrt{z}, que é uma função multivalorada (tem duas possíveis determinações para cada z\neq0).
  • A curva C é o círculo de raio r centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário (ou seja, é o traço \{ z: |z|=r\} com orientação positiva).
  • A tarefa é calcular o valor numérico da integral de linha \int_{C}\sqrt{z}\,dz em termos de r.

Passo 2

Explicando um ponto importante sobre \sqrt{z} (sem pânico!): a função \sqrt{z} é multivalorada porque, para z\neq0, existem duas raízes quadradas. Para trabalhar com integrais é preciso escolher uma determinação contínua da raiz quadrada ao longo da curva. No caso do círculo centrado na origem nós podemos parametrizar a curva por um único parâmetro t\in[0,2\pi] e usar a determinação da raiz quadrada dada pelo argumento contínuo t (ou seja, a raiz que acompanha o ângulo que aumenta de 0 a 2\pi). Isso fornece uma função \sqrt{z(t)} contínua em t\in[0,2\pi], então a integral está bem definida por essa parametrização. Observação: essa determinação não é global (se voltarmos ao ponto inicial analiticamente, a raiz muda de sinal), mas para integrar ao longo do parâmetro isso não atrapalha — dá para integrar normalmente.

Passo 3

Parametrização da curva C. Como C é o círculo de raio r centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário, tomamos
z(t)=r\,e^{i t},\qquad t\in[0,2\pi].
Daí
dz = z'(t)\,dt = i r\,e^{i t}\,dt.

Passo 4

Expressar \sqrt{z} ao longo da parametrização. Usando a determinação contínua do argumento t (isto é, \arg z(t)=t para t\in[0,2\pi]), obtemos
\sqrt{z(t)}=\sqrt{r}\,e^{i t/2}.
(Já que \sqrt{r e^{i t}}=\sqrt{r}\,e^{i t/2}. Aqui \sqrt{r} é a raiz quadrada positiva de r.)
Então o integrando fica
\sqrt{z(t)}\,dz = \sqrt{r}\,e^{i t/2}\cdot i r\,e^{i t}\,dt = i r\sqrt{r}\,e^{i (3t/2)}\,dt.

Passo 5

Calcular a integral em t. Temos
\int_{C}\sqrt{z}\,dz = \int_{0}^{2\pi} i r\sqrt{r}\,e^{i (3t/2)}\,dt = i r\sqrt{r}\int_{0}^{2\pi} e^{i (3t/2)}\,dt.
Calcule a integral exponencial:
\int_{0}^{2\pi} e^{i (3t/2)}\,dt = \left[\frac{e^{i (3t/2)}}{i(3/2)}\right]_{0}^{2\pi} = \frac{2}{3i}\bigl(e^{i 3\pi}-1\bigr).
Como e^{i 3\pi}=e^{i\pi}e^{i2\pi}=-1, segue
\int_{0}^{2\pi} e^{i (3t/2)}\,dt = \frac{2}{3i}(-1-1)=\frac{2}{3i}(-2)=-\frac{4}{3i}=\frac{4i}{3}.
Agora multiplica pelo prefator:
\int_{C}\sqrt{z}\,dz = i r\sqrt{r}\cdot\frac{4i}{3} = \frac{4i^{2}}{3}\,r\sqrt{r} = -\frac{4}{3}\,r\sqrt{r}.
Escrever de forma mais habitual,
\int_{C}\sqrt{z}\,dz = -\frac{4}{3}\,r^{3/2}.

Passo 6

Interpretação curta (pra fixar): apesar de \sqrt{z} não ter uma determinação global analítica que envolva o ponto 0, ao percorrer o círculo com a parametrização t\in[0,2\pi] obtemos uma função contínua do parâmetro e a integral é bem definida; o resultado é -\tfrac{4}{3}r^{3/2}. Uma outra forma elegante de ver o mesmo resultado é notar que uma primitiva local de \sqrt{z} é \tfrac{2}{3}z^{3/2} (na determinação usada), e a integral é a diferença da primitiva entre os extremos do parâmetro, que são iguais como pontos no plano mas têm valores de primitiva com sinais opostos, dando a mesma diferença -\tfrac{4}{3}r^{3/2}.

Resposta

-\dfrac{4}{3}\,r^{3/2}

Exercícios relacionados