Calcule
, onde
e
são especificados em cada item:
e
é o círculo centrado na origem de raio
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
e
é o círculo centrado na origem de raio
, orientado no sentido anti-horário. As informações relevantes fornecidas pelo enunciado são:
- A função é
, que é uma função multivalorada (tem duas possíveis determinações para cada ). - A curva
é o círculo de raio centrado na origem, percorrido no sentido anti-horário (ou seja, é o traço com orientação positiva). - A tarefa é calcular o valor numérico da integral de linha
em termos de .
Passo 2
Explicando um ponto importante sobre
(sem pânico!): a função
é multivalorada porque, para
, existem duas raízes quadradas. Para trabalhar com integrais é preciso escolher uma determinação contínua da raiz quadrada ao longo da curva. No caso do círculo centrado na origem nós podemos parametrizar a curva por um único parâmetro
e usar a determinação da raiz quadrada dada pelo argumento contínuo
(ou seja, a raiz que acompanha o ângulo que aumenta de
a
). Isso fornece uma função
contínua em
, então a integral está bem definida por essa parametrização. Observação: essa determinação não é global (se voltarmos ao ponto inicial analiticamente, a raiz muda de sinal), mas para integrar ao longo do parâmetro isso não atrapalha — dá para integrar normalmente.
Passo 3
Parametrização da curva
. Como
é o círculo de raio
centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário, tomamos
Daí
Passo 4
Expressar
ao longo da parametrização. Usando a determinação contínua do argumento
(isto é,
para
), obtemos
(Já que
. Aqui
é a raiz quadrada positiva de
.)
Então o integrando fica
Passo 5
Calcular a integral em
. Temos
Calcule a integral exponencial:
Como
, segue
Agora multiplica pelo prefator:
Escrever de forma mais habitual,
Passo 6
Interpretação curta (pra fixar): apesar de
não ter uma determinação global analítica que envolva o ponto
, ao percorrer o círculo com a parametrização
obtemos uma função contínua do parâmetro e a integral é bem definida; o resultado é
. Uma outra forma elegante de ver o mesmo resultado é notar que uma primitiva local de
é
(na determinação usada), e a integral é a diferença da primitiva entre os extremos do parâmetro, que são iguais como pontos no plano mas têm valores de primitiva com sinais opostos, dando a mesma diferença
.