Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
As informações relevantes que temos são: uma sequência arbitrária
e sua transformada
(assumimos que
é a
-transformada de
cuja soma está definida e converge na sua região de convergência). Não vamos resolver nada ainda, apenas identificamos o que se pede: provar a igualdade acima e, se necessário, comentar a relação entre as regiões de convergência.
Passo 2
Vamos lembrar a definição da
-transformada de uma sequência
. Por definição,
Explicando cada parte: a soma
percorre todos os inteiros
; a função
é o termo da sequência;
é uma variável complexa; e o fator
é a base da série. A transformada converge para valores de
que pertencem à região de convergência (ROC), definida por aqueles
para os quais a soma acima é convergente.
Passo 3
Agora definimos a sequência tempo-invertida
. A
-transformada de
é, por definição,
Aqui apenas substituímos
por
dentro da soma.
Passo 4
Fazemos uma mudança de variável na soma para tornar a expressão parecida com
. Seja
. Quando
percorre todos os inteiros de
a
,
também percorre todos os inteiros de
a
. Substituindo:
porque
vira
e
quando
. É importante notar que a mudança de soma é legítima porque os índices inteiros são bijetivos sob
.
Passo 5
Agora comparemos a expressão obtida com
. Pela definição,
Mas
. Logo
Essa soma é exatamente a soma que obtivemos para
(só que com o índice
em vez de
), portanto
Passo 6
Comentário sobre a região de convergência (ROC): a igualdade das séries foi feita formalmente, mas a convergência depende de
. A ROC da transformada de
é o conjunto de
tais que
converge, ou seja
Em termos de módulos, se
é
então
é
. Essa reflexão da ROC em relação ao círculo unitário é a consequência natural da substituição
.
Passo 7
Um exemplo rápido para fixar: tome
(onde
é o degrau unitário). Sabemos que
Para
obtemos
que converge para
, conforme a regra da ROC invertida.