Mostre que \mathcal{Z}\{x[-n]\}=X\left(z^{-1}\right). X

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\mathcal{Z}\{x[-n]\}=X\!\left(z^{-1}\right).
As informações relevantes que temos são: uma sequência arbitrária x[n] e sua transformada X(z) (assumimos que X(z) é a \mathcal{Z}-transformada de x[n] cuja soma está definida e converge na sua região de convergência). Não vamos resolver nada ainda, apenas identificamos o que se pede: provar a igualdade acima e, se necessário, comentar a relação entre as regiões de convergência.

Passo 2

Vamos lembrar a definição da \mathcal{Z}-transformada de uma sequência x[n]. Por definição,
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n}.
Explicando cada parte: a soma \sum_{n=-\infty}^{\infty} percorre todos os inteiros n; a função x[n] é o termo da sequência; z é uma variável complexa; e o fator z^{-n} é a base da série. A transformada converge para valores de z que pertencem à região de convergência (ROC), definida por aqueles z para os quais a soma acima é convergente.

Passo 3

Agora definimos a sequência tempo-invertida \,y[n]=x[-n]. A \mathcal{Z}-transformada de y[n] é, por definição,
Y(z)=\mathcal{Z}\{y[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n]\,z^{-n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[-n]\,z^{-n}.
Aqui apenas substituímos y[n] por x[-n] dentro da soma.

Passo 4

Fazemos uma mudança de variável na soma para tornar a expressão parecida com X(\cdot). Seja \,m=-n. Quando n percorre todos os inteiros de -\infty a \infty, m também percorre todos os inteiros de -\infty a \infty. Substituindo:
Y(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[-n]\,z^{-n}=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]\,z^{m},
porque x[-n] vira x[m] e z^{-n}=z^{m} quando m=-n. É importante notar que a mudança de soma é legítima porque os índices inteiros são bijetivos sob m=-n.

Passo 5

Agora comparemos a expressão obtida com X(z^{-1}). Pela definição,
X\!\left(z^{-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,(z^{-1})^{-n}.
Mas (z^{-1})^{-n}=z^{n}. Logo
X\!\left(z^{-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{n}.
Essa soma é exatamente a soma que obtivemos para Y(z) (só que com o índice m em vez de n), portanto
Y(z)=X\!\left(z^{-1}\right).

Passo 6

Comentário sobre a região de convergência (ROC): a igualdade das séries foi feita formalmente, mas a convergência depende de z. A ROC da transformada de x[-n] é o conjunto de z tais que X(z^{-1}) converge, ou seja
\text{ROC}_{x[-n]}=\{z\in\mathbb{C}\mid z^{-1}\in\text{ROC}_{x}\}.
Em termos de módulos, se \text{ROC}_x é \{r_1<|z|<r_2\} então \text{ROC}_{x[-n]} é \{1/r_2<|z|<1/r_1\}. Essa reflexão da ROC em relação ao círculo unitário é a consequência natural da substituição z\mapsto z^{-1}.

Passo 7

Um exemplo rápido para fixar: tome x[n]=a^{n}u[n] (onde u[n] é o degrau unitário). Sabemos que
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} z^{-n}=\frac{1}{1-a z^{-1}}\quad\text{para }|z|>|a|.
Para x[-n] obtemos
\mathcal{Z}\{x[-n]\}=X\!\left(z^{-1}\right)=\frac{1}{1-a z},
que converge para |z|<1/|a|, conforme a regra da ROC invertida.

Resposta

\mathcal{Z}\{x[-n]\}=X\!\left(z^{-1}\right)

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