Calcule a transformada inversa de X(z)=z^{-1}\left(1-z^{-1}\right)\left(1-\frac{1}{2} z^{-1}\right). X

Passo 1

O enunciado pede: calcular a transformada inversa de X(z)=z^{-1}\left(1-z^{-1}\right)\left(1-\frac{1}{2} z^{-1}\right).
Informações dadas no enunciado:
  • A expressão de X(z) é exatamente z^{-1}\left(1-z^{-1}\right)\left(1-\frac{1}{2} z^{-1}\right).
  • Não foi dada explicitamente a região de convergência (ROC). O enunciado pede apenas a transformada inversa (ou seja, encontrar x[n] tal que X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}).

Passo 2

Vamos primeiro manipular algebricamente X(z). Multiplicamos primeiro os dois fatores \left(1-z^{-1}\right) e \left(1-\frac{1}{2}z^{-1}\right). Faço isso passo a passo:
\left(1-z^{-1}\right)\left(1-\frac{1}{2}z^{-1}\right) = 1 - \left(1+\frac{1}{2}\right)z^{-1} + \frac{1}{2}z^{-2}.
Aqui calculei \left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{2}, logo o produto é
1 - \frac{3}{2}z^{-1} + \frac{1}{2}z^{-2}.

Passo 3

Agora multiplico esse resultado por z^{-1} (o fator que estava na frente em X(z)):
X(z)=z^{-1}\left(1 - \frac{3}{2}z^{-1} + \frac{1}{2}z^{-2}\right).
Multiplicando termo a termo obtemos
X(z)=z^{-1} - \frac{3}{2}z^{-2} + \frac{1}{2}z^{-3}.

Passo 4

Relembre a definição da transformada z unilateral/bilateral: a transformada z de uma sequência x[n] é
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}.
Ou seja, o coeficiente multiplicando z^{-n} na expansão de X(z) é exatamente x[n], desde que a ROC inclua a circunferência de interesse. Aqui temos uma soma finita de potências z^{-1},z^{-2},z^{-3}, portanto podemos ler os coeficientes diretamente.

Passo 5

Identificando termo a termo na expansão
X(z)=z^{-1} - \frac{3}{2}z^{-2} + \frac{1}{2}z^{-3},
temos:
  • o coeficiente de z^{-1} é 1, então x[1]=1;
  • o coeficiente de z^{-2} é -\tfrac{3}{2}, então x[2]=-\tfrac{3}{2};
  • o coeficiente de z^{-3} é \tfrac{1}{2}, então x[3]=\tfrac{1}{2};
  • não há termo z^{0}, logo x[0]=0;
  • não há termos com z^{-n} para n\ge 4, logo x[n]=0 para n\ge 4;
  • também não há termos com potências positivas de z (ou seja, potências z^{+k}), então x[n]=0 para n\le 0.
Portanto a sequência é de suporte finito e “começa” em n=1.

Passo 6

Resumo intuitivo (para decorar na prova): quando X(z) aparece como um polinômio finito em z^{-1}, a forma mais simples de achar x[n] é expandir e ler os coeficientes de z^{-n}. Aqui isso deu diretamente os valores em n=1,2,3.

Resposta

x[n]=\begin{cases} 0, & n\le 0,\\[4pt] 1, & n=1,\\[4pt] -\dfrac{3}{2}, & n=2,\\[6pt] \dfrac{1}{2}, & n=3,\\[4pt] 0, & n\ge 4. \end{cases}]

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