Calcule a transformada inversa de
. X
Passo 1
O enunciado pede: calcular a transformada inversa de
.
Informações dadas no enunciado:
Informações dadas no enunciado:
- A expressão de
é exatamente . - Não foi dada explicitamente a região de convergência (ROC). O enunciado pede apenas a transformada inversa (ou seja, encontrar
tal que ).
Passo 2
Vamos primeiro manipular algebricamente
. Multiplicamos primeiro os dois fatores
e
. Faço isso passo a passo:
Aqui calculei
, logo o produto é
Passo 3
Agora multiplico esse resultado por
(o fator que estava na frente em
):
Multiplicando termo a termo obtemos
Passo 4
Relembre a definição da transformada z unilateral/bilateral: a transformada z de uma sequência
é
Ou seja, o coeficiente multiplicando
na expansão de
é exatamente
, desde que a ROC inclua a circunferência de interesse. Aqui temos uma soma finita de potências
, portanto podemos ler os coeficientes diretamente.
Passo 5
Identificando termo a termo na expansão
temos:
- o coeficiente de
é , então ; - o coeficiente de
é , então ; - o coeficiente de
é , então ; - não há termo
, logo ; - não há termos com
para , logo para ; - também não há termos com potências positivas de
(ou seja, potências ), então para .
Portanto a sequência é de suporte finito e “começa” em
.
Passo 6
Resumo intuitivo (para decorar na prova): quando
aparece como um polinômio finito em
, a forma mais simples de achar
é expandir e ler os coeficientes de
. Aqui isso deu diretamente os valores em
.