Se
são números tais que
então
é igual a
então
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede o valor de
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Não há outras condições explícitas (por exemplo, valores de
proibidos são as raízes do denominador:
), e a igualdade deve valer como identidade de funções racionais (para todos os
onde as expressões estão definidas).
Passo 2
Primeiro vamos olhar o denominador para entender a forma da decomposição. Fatoramos o denominador:
Isso confirma que a forma dada à direita, com termos sobre
,
e
, é apropriada (são fatores lineares distintos). Observamos também que o grau do numerador é
e o do denominador é
, então a fração é própria (grau do numerador menor que o do denominador) — não precisamos fazer divisão polinomial antes da decomposição.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da identidade pelo denominador comum
para eliminar as frações. Assim obtemos uma identidade de polinômios:
Explicando: cada termo do lado direito é o respectivo numerador multiplicado pelos fatores do denominador que faltavam para obter o denominador total; como a igualdade é de funções racionais (identidade), os polinômios resultantes são iguais para todos os
(exceto onde a expressão original é indefinida).
Passo 4
Usamos o método prático de avaliar a identidade em valores de
que anulam cada fator linear, assim eliminamos dois termos e isolamos a constante desejada (método conhecido como “cover-up” ou escolha de raízes do denominador). Primeiro escolha
. Substituindo em cada lado:
Logo
Passo 5
Agora escolha
. Substituindo na identidade:
Logo
Passo 6
Finalmente escolha
. Substituindo:
Logo
Passo 7
Agora temos os valores de
:
Pedem
. Calculamos passo a passo:
Primeiro
. Depois
.