Se A, B, C são números tais que
\frac{166 x^{2}+84 x-12}{x^{3}-x}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}
então A-B+C é igual a

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\frac{166 x^{2}+84 x-12}{x^{3}-x}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}
e pede o valor de A-B+C.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\text{Numerador: }166x^{2}+84x-12.
\text{Denominador: }x^{3}-x.
\text{Representação em frações parciais com constantes }A,B,C\text{ nos denominadores }x-1,\;x,\;x+1.çãçõ
Não há outras condições explícitas (por exemplo, valores de x proibidos são as raízes do denominador: x=-1,0,1), e a igualdade deve valer como identidade de funções racionais (para todos os x onde as expressões estão definidas).

Passo 2

Primeiro vamos olhar o denominador para entender a forma da decomposição. Fatoramos o denominador:
x^{3}-x = x(x^{2}-1)=x(x-1)(x+1).
Isso confirma que a forma dada à direita, com termos sobre x-1, x e x+1, é apropriada (são fatores lineares distintos). Observamos também que o grau do numerador é 2 e o do denominador é 3, então a fração é própria (grau do numerador menor que o do denominador) — não precisamos fazer divisão polinomial antes da decomposição.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da identidade pelo denominador comum (x-1)x(x+1) para eliminar as frações. Assim obtemos uma identidade de polinômios:
166x^{2}+84x-12 = A\cdot x(x+1) + B\cdot (x-1)(x+1) + C\cdot (x-1)x.
Explicando: cada termo do lado direito é o respectivo numerador multiplicado pelos fatores do denominador que faltavam para obter o denominador total; como a igualdade é de funções racionais (identidade), os polinômios resultantes são iguais para todos os x (exceto onde a expressão original é indefinida).

Passo 4

Usamos o método prático de avaliar a identidade em valores de x que anulam cada fator linear, assim eliminamos dois termos e isolamos a constante desejada (método conhecido como “cover-up” ou escolha de raízes do denominador). Primeiro escolha x=1. Substituindo em cada lado:
\text{Lado esquerdo: }166\cdot 1^{2}+84\cdot 1-12 = 166+84-12 = 238.
\text{Lado direito: }A\cdot 1\cdot(1+1) + B\cdot(1-1)(1+1) + C\cdot(1-1)\cdot 1 = 2A + 0 + 0 = 2A.
Logo
2A = 238 \quad\Rightarrow\quad A = 119.

Passo 5

Agora escolha x=0. Substituindo na identidade:
\text{Lado esquerdo: }166\cdot 0^{2}+84\cdot 0-12 = -12.
\text{Lado direito: }A\cdot 0\cdot(0+1) + B\cdot(0-1)(0+1) + C\cdot(0-1)\cdot 0 = 0 + B\cdot(-1)\cdot 1 + 0 = -B.
Logo
-B = -12 \quad\Rightarrow\quad B = 12.

Passo 6

Finalmente escolha x=-1. Substituindo:
\text{Lado esquerdo: }166\cdot (-1)^{2} + 84\cdot(-1) -12 = 166 -84 -12 = 70.
\text{Lado direito: }A\cdot(-1)\cdot(0) + B\cdot(-1-1)(-1+1) + C\cdot(-1-1)\cdot(-1) = 0 + 0 + C\cdot(-2)\cdot(-1) = 2C.
Logo
2C = 70 \quad\Rightarrow\quad C = 35.

Passo 7

Agora temos os valores de A,B,C:
A = 119,\quad B = 12,\quad C = 35.
Pedem A-B+C. Calculamos passo a passo:
A - B + C = 119 - 12 + 35.
Primeiro 119 - 12 = 107. Depois 107 + 35 = 142.

Resposta

142

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