Mostre que
\mathrm{u} \cdot \mathrm{v}=\frac{\|\mathrm{u}+\mathrm{v}\|^{2}-\|\mathrm{u}-\mathrm{v}\|^{2}}{4}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para quaisquer vetores \mathrm{u} e \mathrm{v} em \mathbb{R}^n, vale
\mathrm{u}\cdot \mathrm{v} \;=\;\frac{\|\mathrm{u}+\mathrm{v}\|^{2}-\|\mathrm{u}-\mathrm{v}\|^{2}}{4}.
O conteúdo que vamos usar é a definição de norma em termos do produto interno e a bilinearidade simétrica desse produto:
\|\mathrm{w}\|^2 = \mathrm{w}\cdot \mathrm{w} \quad\text{e}\quad (\mathrm{a}+\mathrm{b})\cdot\mathrm{c}=\mathrm{a}\cdot\mathrm{c}+\mathrm{b}\cdot\mathrm{c}.

Passo 2

Expandimos cada norma ao quadrado usando
\|\mathrm{u}+\mathrm{v}\|^2 = (\mathrm{u}+\mathrm{v})\cdot(\mathrm{u}+\mathrm{v})
e
\|\mathrm{u}-\mathrm{v}\|^2 = (\mathrm{u}-\mathrm{v})\cdot(\mathrm{u}-\mathrm{v}).
Assim,
\|\mathrm{u}+\mathrm{v}\|^2 = \mathrm{u}\cdot\mathrm{u} \;+\;2\,\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}\;+\;\mathrm{v}\cdot\mathrm{v},
\|\mathrm{u}-\mathrm{v}\|^2 = \mathrm{u}\cdot\mathrm{u} \;-\;2\,\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}\;+\;\mathrm{v}\cdot\mathrm{v}.

Passo 3

Subtraindo as duas expressões obtemos
\|\mathrm{u}+\mathrm{v}\|^2 \;-\;\|\mathrm{u}-\mathrm{v}\|^2 = \bigl(\mathrm{u}\cdot\mathrm{u}+2\,\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}+\mathrm{v}\cdot\mathrm{v}\bigr) - \bigl(\mathrm{u}\cdot\mathrm{u}-2\,\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}+\mathrm{v}\cdot\mathrm{v}\bigr) =4\,\mathrm{u}\cdot\mathrm{v}.

Resposta

\mathrm{u}\cdot \mathrm{v} =\frac{\|\mathrm{u}+\mathrm{v}\|^{2}-\|\mathrm{u}-\mathrm{v}\|^{2}}{4}.

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