2- Dado o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2 x-y=5 \\\\ 4 x-2 y=t \end{array}\right.
(a) determine um valor de t tal que o sistema tenha uma solução.
(b) determine um valor de t tal que o sistema não tenha solução.
(c) quantos valores distintos de t podem ser selecionados na parte (b)?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} 2x - y = 5,\\\\ 4x - 2y = t \end{cases}
e pede para encontrar valores de t que tornem o sistema (a) possível, (b) impossível, e (c) quantos valores distintos de t geram impossibilidade. O método mais direto é usar eliminação ou comparar a segunda equação com o dobro da primeira.

Passo 2

Multiplicando a primeira equação por 2, obtemos
4x - 2y = 10.
Para que o sistema seja compatível, a segunda equação
4x - 2y = t
deve coincidir com esse resultado. Logo, basta exigir
t = 10.

Passo 3

Se t \neq 10, então as duas equações têm o mesmo lado esquerdo mas lados direitos diferentes, gerando uma contradição do tipo
4x - 2y = 10 \quad\text{e}\quad 4x - 2y = t\quad(t\neq10),
de modo que o sistema não admite solução. Um exemplo é t=0.

Passo 4

O conjunto de valores de t que tornam o sistema impossível é
\{\,t\in\mathbb{R}\mid t\neq10\},
que contém todos os reais exceto 10. Portanto há infinitos valores (na verdade não enumeráveis) de t na parte (b).

Resposta

(a) t = 10.
(b) Por exemplo t = 0 (ou qualquer t\neq10).
(c) Infinitos valores distintos.

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