Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -5 & -3 & -3 & -4 \\\\ -2 & -5 & -5 & -4 & -3 \\\\ 2 & 8 & 8 & 7 & 9\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) -22
(B) -21
(C) -20
(D) -19
(E) -18
(F) -17
(G) -16
(H) -15
(I) Não \mathfrak{e i}

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -5 & -3 & -3 & -4\\\\ -2 & -5 & -5 & -4 & -3\\\\ 2 & 8 & 8 & 7 & 9 \end{pmatrix}
Vamos usar escalonamento: operações de linha do tipo R_i\leftarrow R_i + k\,R_j não mudam o determinante, e troca de linhas inverte o sinal.

Passo 2

Para ter pivô 1 no canto, trocamos R_1\leftrightarrow R_2. Isso multiplica o determinante por -1. A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 1 & -5 & -3 & -3 & -4\\\\ -2 & -5 & -5 & -4 & -3\\\\ 2 & 8 & 8 & 7 & 9 \end{pmatrix}

Passo 3

Zeramos abaixo do pivô na coluna 1 com
R_3\leftarrow R_3 - R_1,\quad R_4\leftarrow R_4 + 2\,R_1,\quad R_5\leftarrow R_5 - 2\,R_1.
Fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 0 & -6 & -4 & -4 & -5\\\\ 0 & -3 & -3 & -2 & -1\\\\ 0 & 6 & 6 & 5 & 7 \end{pmatrix}

Passo 4

Zeramos abaixo do pivô na coluna 2 com
R_3\leftarrow R_3 + 2\,R_2,\quad R_4\leftarrow R_4 + 1\,R_2,\quad R_5\leftarrow R_5 - 2\,R_2.
Obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Passo 5

Agora o pivô em (4,4) vale 1. Zerar a entrada em (5,4) com
R_5\leftarrow R_5 + R_4
Leva a
\begin{pmatrix} 1 & * & * & * & *\\\\ 0 & 3 & * & * & *\\\\ 0 & 0 & 2 & * & *\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & *\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
onde os asteriscos não importam para o produto das diagonais.

Passo 6

Agora a matriz está triangular superior. O determinante dela é o produto das diagonais
1 \times 3 \times 2 \times 1 \times 3 = 18.
Mas lembrando a troca de linha em

Passo 7

-1 \times 18 = -18.

Resposta

(E) -18

Exercícios relacionados