(a) Mostre que a matriz A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] é invertível se, e somente se, a d-b c \neq 0 e neste caso a inversa é dada por
A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{rr} d & -b \\\\ -c & a \end{array}\right]
(Sugestão: encontre a forma escalonada reduzida da matriz \left[A \mid I_{2}\right], para a \neq 0 e para a=0.)
(b) Mostre que se a d-b c \neq 0, então o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} a x+b y=g \\\ c x+d y=h \end{array}\right.
O enunciado pede duas coisas: (a) mostrar que a matriz
A = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}
é invertível se, e somente se, \,ad - bc \neq 0\), e encontrar explicitamente
\[A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Em seguida (b) usar esse fato para resolver o sistema
Se a=0 e ad - bc\neq0, então bc\neq0 força b\neq0 ou c\neq0. De fato, c\neq0, pois ad - bc = -bc\neq0. Então trocamos linhas em \bigl[A\mid I_2\bigr] para ter pivô não nulo, e processo análogo leva ao mesmo A^{-1}. Assim, em qualquer caso A é invertível se, e somente se,
ad - bc \neq 0,
e a inversa é a fórmula acima.
Passo 5
Para o item (b), escrevemos o sistema em forma matricial: