(Relativo à Subseção 2.1.2) Encontre matrizes elementares E_{1}, \ldots, E_{k} tais que A=E_{1} \ldots E_{k}, para
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
como produto de matrizes elementares. Cada matriz elementar corresponde a uma operação de linha que, aplicada à esquerda, faz aquela transformação em uma matriz.

Passo 2

Vamos partir da matriz identidade I_3 e aplicar, em sequência, as seguintes operações de linha para chegar em A:
  1. R_2\to R_2+2\,R_1
  2. troca R_2\leftrightarrow R_3
  3. R_3\to R_3-3\,R_2
  4. R_3\to 2\,R_3
  5. R_2\to R_2+2\,R_3
  6. R_1\to R_1+3\,R_3
  7. R_1\to R_1+2\,R_2

Passo 3

Cada uma dessas operações é efetuada, à esquerda, por uma matriz elementar E_i. São elas:
E_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix},
E_{4}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad E_{5}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad E_{6}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
E_{7}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicando essas matrizes, da seguinte forma, obtemos
A \;=\; E_{7}\,E_{6}\,E_{5}\,E_{4}\,E_{3}\,E_{2}\,E_{1}\,I_{3} \;=\; E_{7}\,E_{6}\,E_{5}\,E_{4}\,E_{3}\,E_{2}\,E_{1}.

Resposta

A \;=\; E_{7}\,E_{6}\,E_{5}\,E_{4}\,E_{3}\,E_{2}\,E_{1},
onde E_{1},\dots,E_{7} são dadas no Passo 3.

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