Sejam
e
matrizes
. Mostre que se
não é invertível, então
também não o é.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são matrizes quadradas de ordem
e pede para mostrar que, se
não tem inversa (isto é, é singular), então o produto
também não pode ser invertível. O conteúdo aqui é noções básicas de invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o único vetor que é levado a zero pelo operador representado por ela é o vetor zero (ou seja, seu núcleo é trivial).
Passo 2
Como
é não invertível, sabemos que o seu núcleo não é trivial. Logo, existe algum vetor não-nulo
tal que
Passo 3
Agora considere o produto
. Aplicando-o ao mesmo vetor
, temos
Isso mostra que
também pertence ao núcleo de
. Portanto,
não é injetora e, consequentemente, não é invertível.
Resposta
Como exibimos um vetor não-nulo no núcleo de
, concluímos que
não admite inversa.