Sejam A e B matrizes n \times n. Mostre que se B não é invertível, então A B também não o é.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes quadradas de ordem n e pede para mostrar que, se B não tem inversa (isto é, é singular), então o produto AB também não pode ser invertível. O conteúdo aqui é noções básicas de invertibilidade: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o único vetor que é levado a zero pelo operador representado por ela é o vetor zero (ou seja, seu núcleo é trivial).

Passo 2

Como B é não invertível, sabemos que o seu núcleo não é trivial. Logo, existe algum vetor não-nulo x\in\mathbb{R}^n tal que
B x = 0.

Passo 3

Agora considere o produto AB. Aplicando-o ao mesmo vetor x, temos
(AB)\,x \;=\; A\bigl(B x\bigr)\;=\;A(0)\;=\;0.
Isso mostra que x\neq 0 também pertence ao núcleo de AB. Portanto, AB não é injetora e, consequentemente, não é invertível.

Resposta

Como exibimos um vetor não-nulo no núcleo de AB, concluímos que AB não admite inversa.

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