- Mostre que uma matriz ortogonal
deve ser de uma das formas
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que toda matriz ortogonal
tem obrigatoriamente uma das duas formas indicadas.
Informações dadas (implícitas pelo enunciado): temos uma matriz real
que é ortogonal. Vou denotar
Informações dadas (implícitas pelo enunciado): temos uma matriz
onde
são números reais. A resolução começa a seguir.]
Passo 2
Definição e consequências básicas. Uma matriz
é ortogonal se, por definição,
onde
é a matriz identidade
. Vamos escrever explicitamente a igualdade
. Calculando
para
obtemos
Como isso deve ser igual a
, obtemos as três equações reais (duas são equivalentes por simetria, mas listarei todas):
Passo 3
Interpretação geométrica e parametrização do primeiro coluna. As duas equações
e
dizem que as duas colunas de
,
são vetores unitários. A terceira equação
diz que
e
são ortogonais (produto interno zero). Portanto as colunas formam um par ortonormal no plano. Qualquer vetor unitário do plano pode ser escrito usando um ângulo
como coordenadas no círculo unitário. Ou seja, existe um
tal que
(Se preferir outro
isso só adiciona
ou muda sinal, não altera a argumentação; a existência desse
vem do fato de
está no círculo unitário.)
Passo 4
Equação que liga a segunda coluna à primeira. Substituindo
e
na condição de ortogonalidade
, obtemos
Além disso a segunda coluna tem norma 1, então
Portanto
é um vetor unitário cujo produto escalar com
é zero; isto é,
é um vetor unitário perpendicular a
.
Passo 5
Resolver as duas equações para
. Vou resolver de forma algébrica direta, sem pular etapas. Das equações
podemos, por exemplo, expressar
em função de
(ou vice-versa). Suponha
por enquanto (o caso
será tratado depois; é análogo). Então
Substituindo em
temos
ou seja
Como
, isso dá
Logo
. Para cada escolha do sinal,
fornece
Portanto as duas soluções possíveis são
Se
(ou seja
), o cálculo direto acima precisa de ajuste, mas o resultado é o mesmo: quando
temos
e os vetores perpendiculares unitários são
ou
, que coincidem com as fórmulas dadas acima para
. Assim não perdemos casos.
Passo 6
Escrever as duas possibilidades de
com as colunas encontradas. Usando
e cada uma das opções para
obtemos as duas formas:
primeira opção, com ,
primeira opção, com
segunda opção, com
,
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida (confirmação). Podemos verificar rapidamente o determinante de cada caso para entender o significado geométrico: para a primeira matriz
logo é uma rotação (matriz ortogonal com determinante
). Para a segunda
logo é uma reflexão-combinada (ortogonal com determinante
). Assim cobrimos ambas as possibilidades e verificamos que não há outras.