1. Mostre que uma matriz ortogonal 2 \times 2 deve ser de uma das formas
\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] \quad \text { ou } \quad\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{array}\right]

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que toda matriz ortogonal 2\times2 tem obrigatoriamente uma das duas formas indicadas.
Informações dadas (implícitas pelo enunciado): temos uma matriz 2\times2 real A que é ortogonal. Vou denotar
A=\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] c & d \end{pmatrix},
onde a,b,c,d são números reais. A resolução começa a seguir.]

Passo 2

Definição e consequências básicas. Uma matriz A é ortogonal se, por definição,
A^{T}A=I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Vamos escrever explicitamente a igualdade A^{T}A=I. Calculando A^{T}A para A=\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} obtemos
A^{T}A=\begin{pmatrix} a & c \\\ b & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a^2+c^2 & ab+cd \\\ ab+cd & b^2+d^2 \end{pmatrix}.
Como isso deve ser igual a I=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, obtemos as três equações reais (duas são equivalentes por simetria, mas listarei todas):
a^{2}+c^{2}=1,
b^{2}+d^{2}=1,
ab+cd=0.

Passo 3

Interpretação geométrica e parametrização do primeiro coluna. As duas equações a^{2}+c^{2}=1 e b^{2}+d^{2}=1 dizem que as duas colunas de A,
\mathbf{u}=\begin{pmatrix} a \\\ c \end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}=\begin{pmatrix} b \\\ d \end{pmatrix},
são vetores unitários. A terceira equação ab+cd=0 diz que \mathbf{u} e \mathbf{v} são ortogonais (produto interno zero). Portanto as colunas formam um par ortonormal no plano. Qualquer vetor unitário do plano pode ser escrito usando um ângulo \alpha como coordenadas no círculo unitário. Ou seja, existe um \alpha tal que
a=\cos\alpha,\qquad c=\sin\alpha.
(Se preferir outro \alpha isso só adiciona 2\pi ou muda sinal, não altera a argumentação; a existência desse \alpha vem do fato de (a,c) está no círculo unitário.)

Passo 4

Equação que liga a segunda coluna à primeira. Substituindo a=\cos\alpha e c=\sin\alpha na condição de ortogonalidade ab+cd=0, obtemos
b\cos\alpha + d\sin\alpha = 0.
Além disso a segunda coluna tem norma 1, então
b^{2}+d^{2}=1.
Portanto (b,d) é um vetor unitário cujo produto escalar com (\cos\alpha,\sin\alpha) é zero; isto é, (b,d) é um vetor unitário perpendicular a (\cos\alpha,\sin\alpha).

Passo 5

Resolver as duas equações para (b,d). Vou resolver de forma algébrica direta, sem pular etapas. Das equações
b\cos\alpha + d\sin\alpha = 0,
b^{2}+d^{2}=1,
podemos, por exemplo, expressar b em função de d (ou vice-versa). Suponha \cos\alpha\neq0 por enquanto (o caso \cos\alpha=0 será tratado depois; é análogo). Então
b = -d\tan\alpha.
Substituindo em b^{2}+d^{2}=1 temos
d^{2}\tan^{2}\alpha + d^{2} = 1,
ou seja
d^{2}(\tan^{2}\alpha+1)=1.
Como \tan^{2}\alpha+1=\operatorname{sec}^{2}\alpha=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}, isso dá
d^{2}\frac{1}{\cos^{2}\alpha}=1 \quad\Rightarrow\quad d^{2}=\cos^{2}\alpha.
Logo d=\pm\cos\alpha. Para cada escolha do sinal, b=-d\tan\alpha fornece
b=-(\pm\cos\alpha)\tan\alpha=\mp\sin\alpha.
Portanto as duas soluções possíveis são
(b,d)=(-\sin\alpha,\cos\alpha)\quad\text{ou}\quad(b,d)=(\sin\alpha,-\cos\alpha).
Se \cos\alpha=0 (ou seja \alpha=\pm\pi/2), o cálculo direto acima precisa de ajuste, mas o resultado é o mesmo: quando \alpha=\pi/2 temos (a,c)=(0,1) e os vetores perpendiculares unitários são (-1,0) ou (1,0), que coincidem com as fórmulas dadas acima para (b,d). Assim não perdemos casos.

Passo 6

Escrever as duas possibilidades de A com as colunas encontradas. Usando (a,c)=(\cos\alpha,\sin\alpha) e cada uma das opções para (b,d) obtemos as duas formas:
primeira opção, com (b,d)=(-\sin\alpha,\cos\alpha),
A=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\[4pt] \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix},
segunda opção, com (b,d)=(\sin\alpha,-\cos\alpha),
A=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\[4pt] \sin\alpha & -\cos\alpha \end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida (confirmação). Podemos verificar rapidamente o determinante de cada caso para entender o significado geométrico: para a primeira matriz
\det(A)=\cos\alpha\cdot\cos\alpha - (-\sin\alpha)\cdot\sin\alpha=\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1,
logo é uma rotação (matriz ortogonal com determinante +1). Para a segunda
\det(A)=\cos\alpha\cdot(-\cos\alpha)-\sin\alpha\cdot\sin\alpha=-(\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=-1,
logo é uma reflexão-combinada (ortogonal com determinante -1). Assim cobrimos ambas as possibilidades e verificamos que não há outras.

Resposta

\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\[4pt] \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \quad\text{ou}\quad \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\[4pt] \sin\alpha & -\cos\alpha \end{pmatrix}]

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