Mostre que as bases E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e F=\left(-\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) têm orientação oposta.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as bases E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e F=\left(-\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) têm orientação oposta.
Informações dadas: os vetores que compõem F são obtidos a partir de E invertendo o sinal do primeiro vetor e mantendo os outros dois iguais.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “ter orientação oposta” de uma maneira operacional e prática para a prova. Se temos duas bases ordenadas de \mathbb{R}^3, a orientação relativa entre elas é determinada pelo sinal do determinante da matriz de mudança de base que leva uma base na outra. Se a matriz de mudança de base tem determinante positivo, as bases têm a mesma orientação; se tem determinante negativo, têm orientação oposta. Vou explicar por que isso faz sentido: o determinante de uma matriz linear é o fator de escala (com sinal) do volume orientado do paralelepípedo formado pelas imagens dos vetores da base. Um sinal negativo indica que o mapa refletiu a orientação.
Passo 3
Construa a matriz de mudança de base da base E para a base F usando as coordenadas dos vetores de F em relação à base E. Como E é \left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right), as coordenadas de -\overrightarrow{e_{1}} relativas a E são (-1,0,0), de \overrightarrow{e_{2}} são (0,1,0) e de \overrightarrow{e_{3}} são (0,0,1). Portanto a matriz de mudança de base P (colunas = coordenadas dos vetores de F em E) é
Calcule o determinante de P. Para uma matriz diagonal, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Assim
\det(P) = (-1)\cdot 1 \cdot 1 = -1.
Passo 5
Interprete o resultado: como \det(P) = -1 < 0, o mapa linear que leva os vetores de E aos vetores de F inverte o sinal do volume orientado (multiplica por -1), ou seja, troca a orientação. Portanto E e F têm orientações opostas.
Passo 6
Para fixar a intuição com um exemplo mais simples: em \mathbb{R}^2, as bases (\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}) e (-\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}) têm matriz de mudança \begin{pmatrix}-1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} cuja determinante é -1, logo também têm orientação oposta — é a mesma ideia, só em 2D.
Resposta
As bases E e F têm orientação oposta, pois a matriz de mudança de base de E para F é \displaystyle \begin{pmatrix}-1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix} e seu determinante é -1<0.]