Mostre que as matrizes \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 8\end{array}\right] e \left[\begin{array}{ccc}-11 & 2 & 2 \\\\ -4 & 0 & 1 \\\\ 6 & -1 & -1\end{array}\right] são inversíveis e que são inversas uma da outra.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix} -11 & 2 & 2\\\\ -4 & 0 & 1\\\\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}
e pede para mostrar que ambas são inversíveis e que B é a inversa de A. Para isso vamos calcular determinantes (para garantir inversibilidade) e produtos matriciais (para checar que AB=BA=I_3).

Passo 2

Calcular \det(A) pela expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-1&3\\\ 1&8\end{pmatrix} -0\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&3\\\ 4&8\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&-1\\\ 4&1\end{pmatrix} =-11+0+12=1.
Como \det(A)=1\neq0, A é inversível.

Passo 3

Calcular \det(B) pela mesma ideia:
\det(B) =-11\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&-1\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}-4&1\\\ 6&-1\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}-4&0\\\ 6&-1\end{pmatrix} =-11\cdot1-2\cdot(-2)+2\cdot4=1.
Como \det(B)=1\neq0, B também é inversível.

Passo 4

Calcular o produto AB. As entradas de AB são
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^3a_{ik}b_{kj}.
Fazendo as contas linha a linha e coluna a coluna, obtém-se
AB=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3.

Passo 5

Para confirmar que B é de fato inversa à esquerda e à direita, calculamos também BA e achamos
BA =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3.

Resposta

As duas matrizes são inversíveis porque têm determinante igual a 1 e satisfazem
AB=BA=I_3,
logo B=A^{-1} e A=B^{-1}.

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