Encontre a inversa da matriz \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\\\ 2 & -1 & 3 \\\\ 4 & 1 & 8\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
\mathrm{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}
Para encontrar \mathrm{A}^{-1} vamos usar o método de Gauss–Jordan, que consiste em montar a matriz aumentada [\mathrm{A}\mid \mathrm{I}] e aplicar operações elementares até obter [\mathrm{I}\mid \mathrm{A}^{-1}].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e usamos o pivô em (1,1) para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
[\mathrm{A}\mid \mathrm{I}] = \left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0\\\\ 4 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Aplicamos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 3

Agora escolhemos o pivô em (2,2). Primeiro normalizamos a linha 2 e em seguida eliminamos a entrada abaixo (posição (3,2)):
R_2 \leftarrow -1\cdot R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2 = [0\;\;1\;\;1\mid2\;-1\;0]
R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \quad\Rightarrow\quad R_3 = [0\;\;0\;\;-1\mid -6\;1\;1]
ficando
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & -6 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 4

Por fim, usamos o pivô em (3,3). Normalizamos a linha 3 e zeramos acima nas colunas 3 de R_1 e R_2:
R_3 \leftarrow -1\cdot R_3 \quad\Rightarrow\quad R_3 = [0\;\;0\;\;1\mid6\;-1\;-1]
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3 \quad,\quad R_2 \leftarrow R_2 - R_3
R_1 = [1\;\;0\;\;0\mid -11\;2\;2] \quad,\quad R_2 = [0\;\;1\;\;0\mid -4\;0\;1]
O sistema está na forma [\mathrm{I}\mid \mathrm{A}^{-1}]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -11 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 6 & -1 & -1 \end{array}\right]

Resposta

A inversa é
\mathrm{A}^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2\\\\ -4 & 0 & 1\\\\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}.

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