Conclusão desta parte: \bar X_n é não viciado para \mu, porque E[\bar X_n]=\mu. (Observação: independência não foi necessária aqui; só foi necessário que cada X_i tenha esperança \mu.)
Passo 4
Cálculo da variância da média amostral — passo intermediário útil para consistência — e explicação.
Fórmula: para uma constante a e variável Y, \operatorname{Var}(aY)=a^2\operatorname{Var}(Y). Para somas de variáveis independentes, \operatorname{Var}(\sum Y_i)=\sum \operatorname{Var}(Y_i).
Aplicando à média (assumindo independência dos X_i):
Interpretação prática: a variância da média amostral decresce como 1/n. Assim, a média amostral vai ficando cada vez mais concentrada em torno de \mu quando n aumenta.
Passo 5
O que significa “consistente” e prova usando a desigualdade de Chebyshev (passo a passo).
Definição: um estimador T_n é consistente para \theta se T_n converge em probabilidade para \theta, isto é, para todo \varepsilon>0,
o que é exatamente a convergência em probabilidade \bar X_n\xrightarrow{P}\mu.
Conclusão desta parte: sob as hipóteses (especialmente \operatorname{Var}(X_i)<\infty e independência usada para calcular a variância), a média amostral é consistente para \mu.
Passo 6
Exemplo concreto curto para fixar a intuição e observações finais amigáveis.
Exemplo (Bernoulli): se X_i\sim\operatorname{Bernoulli}(p), então \mu=p, \sigma^2=p(1-p). A média amostral \bar X_n conta a proporção de sucessos; já vimos que E[\bar X_n]=p e \operatorname{Var}(\bar X_n)=p(1-p)/n. Pela Chebyshev,
Observação técnica: a prova de consistência via Chebyshev exige variância finita. Em situações mais gerais, a Lei Fraca dos Grandes Números (LFGN) garante a consistência sob hipóteses como E[|X_i|]<\infty; a Lei Forte dos Grandes Números fornece convergência quase certa sob hipóteses similares. Mas para a prova elementar que precisamos na prova, a abordagem com variância finita e Chebyshev é a mais direta.
Força moral: a média amostral é um estimador natural, sem viés e que melhora (fica mais precisa) com mais dados — é por isso que a média é tão usada na prática. Coragem que você consegue aplicar isso na prova!
Resposta
A média amostral é não viciada: E[\bar X_n]=\mu.
A média amostral é consistente: \bar X_n\xrightarrow{P}\mu (sob \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty).