Mostre que a média amostral é um estimador não viciado e consistente para a média populacional.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem para mostrar duas coisas sobre a média amostral:
    1. que é um estimador não viciado (ou seja, sua esperança é a verdadeira média populacional);
    2. que é consistente (ou seja, converge para a média populacional quando n\to\infty).
  • Informação que vamos usar (hipóteses padrão):
    • Há uma amostra aleatória X_1,\dots,X_n.
    • Cada X_i tem esperança finita \mu=E[X_i].
    • Cada X_i tem variância finita \sigma^2=\operatorname{Var}(X_i)<\infty.
    • Suponhamos, quando necessário, que os X_i são independentes e identicamente distribuídos (iid).
    • Definição da média amostral:
    \bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.

Passo 2

O que significa “não viciado” e como vamos provar: definição e ferramenta.
  • Definição: Um estimador T_n de um parâmetro \theta é não viciado (ou sem viés) se
E[T_n]=\theta
para todo n.
  • Ferramenta que vamos usar: linearidade da esperança. A linearidade diz que, para variáveis aleatórias quaisquer (não precisa de independência),
E\!\left[\sum_{i=1}^n a_i Y_i\right]=\sum_{i=1}^n a_i E[Y_i],
onde a_i são constantes. Aqui aplicamos com a_i=\tfrac{1}{n} e Y_i=X_i.

Passo 3

Cálculo explícito da esperança da média amostral (prova do não viés), com explicação passo a passo.
  • Escrita da média:
\bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
  • Aplicando a linearidade da esperança:
E[\bar X_n]=E\!\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} E[X_i].
  • Como os X_i são identicamente distribuídos, E[X_i]=\mu para todo i. Logo
E[\bar X_n]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mu=\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu.
  • Conclusão desta parte: \bar X_n é não viciado para \mu, porque E[\bar X_n]=\mu. (Observação: independência não foi necessária aqui; só foi necessário que cada X_i tenha esperança \mu.)

Passo 4

Cálculo da variância da média amostral — passo intermediário útil para consistência — e explicação.
  • Fórmula: para uma constante a e variável Y, \operatorname{Var}(aY)=a^2\operatorname{Var}(Y). Para somas de variáveis independentes, \operatorname{Var}(\sum Y_i)=\sum \operatorname{Var}(Y_i).
  • Aplicando à média (assumindo independência dos X_i):
\operatorname{Var}(\bar X_n)=\operatorname{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\frac{1}{n^2}\operatorname{Var}\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right).
  • Como os X_i são independentes e cada um tem variância \sigma^2,
\operatorname{Var}\!\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_i)=n\sigma^2.
  • Portanto
\operatorname{Var}(\bar X_n)=\frac{1}{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n}.
  • Interpretação prática: a variância da média amostral decresce como 1/n. Assim, a média amostral vai ficando cada vez mais concentrada em torno de \mu quando n aumenta.

Passo 5

O que significa “consistente” e prova usando a desigualdade de Chebyshev (passo a passo).
  • Definição: um estimador T_n é consistente para \theta se T_n converge em probabilidade para \theta, isto é, para todo \varepsilon>0,
\lim_{n\to\infty} P\big(|T_n-\theta|>\varepsilon\big)=0.
  • Ferramenta simples e poderosa: desigualdade de Chebyshev. Ela afirma que, para qualquer variável aleatória Y com variância finita,
P\big(|Y-E[Y]|\ge \varepsilon\big)\le \frac{\operatorname{Var}(Y)}{\varepsilon^2},
para todo \varepsilon>0.
  • Aplicando a Chebyshev com Y=\bar X_n e lembrando que E[\bar X_n]=\mu e \operatorname{Var}(\bar X_n)=\sigma^2/n, temos:
P\big(|\bar X_n-\mu|\ge \varepsilon\big)\le \frac{\operatorname{Var}(\bar X_n)}{\varepsilon^2}=\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.
  • Agora observar o comportamento quando n\to\infty: para todo \varepsilon>0,
\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}0.
Logo
\lim_{n\to\infty} P\big(|\bar X_n-\mu|\ge \varepsilon\big)=0,
o que é exatamente a convergência em probabilidade \bar X_n\xrightarrow{P}\mu.
  • Conclusão desta parte: sob as hipóteses (especialmente \operatorname{Var}(X_i)<\infty e independência usada para calcular a variância), a média amostral é consistente para \mu.

Passo 6

Exemplo concreto curto para fixar a intuição e observações finais amigáveis.
  • Exemplo (Bernoulli): se X_i\sim\operatorname{Bernoulli}(p), então \mu=p, \sigma^2=p(1-p). A média amostral \bar X_n conta a proporção de sucessos; já vimos que E[\bar X_n]=p e \operatorname{Var}(\bar X_n)=p(1-p)/n. Pela Chebyshev,
P\big(|\bar X_n-p|\ge\varepsilon\big)\le\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\to0,
ou seja, a proporção estimada converge para p.
  • Observação técnica: a prova de consistência via Chebyshev exige variância finita. Em situações mais gerais, a Lei Fraca dos Grandes Números (LFGN) garante a consistência sob hipóteses como E[|X_i|]<\infty; a Lei Forte dos Grandes Números fornece convergência quase certa sob hipóteses similares. Mas para a prova elementar que precisamos na prova, a abordagem com variância finita e Chebyshev é a mais direta.
  • Força moral: a média amostral é um estimador natural, sem viés e que melhora (fica mais precisa) com mais dados — é por isso que a média é tão usada na prática. Coragem que você consegue aplicar isso na prova!

Resposta

A média amostral é não viciada: E[\bar X_n]=\mu.
A média amostral é consistente: \bar X_n\xrightarrow{P}\mu (sob \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2<\infty).

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