Mostre que a média aritmética de dois números reais a e b, com a < b, é um número maior do que a e menor do que b.

Passo 1

O enunciado dá dois números reais a e b tais que a<b. Pede-se para mostrar que a média aritmética desses dois números,
\frac{a+b}{2},
é um número maior que a e menor que b, ou seja, que
a<\frac{a+b}{2}<b.
Eu usei também a indicação da imagem (que mostra a à esquerda de b), o que corresponde exatamente à hipótese a<b.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades básicas de desigualdades que usaremos (e explico por que valem):
  • Se x<y e z é qualquer número real, então x+z<y+z. Isso vale porque somar o mesmo z nos dois lados não altera a diferença: (y+z)-(x+z)=y-x>0.
  • Se x<y e c>0, então \dfrac{x}{c}<\dfrac{y}{c}. Isso vem do fato de que multiplicar ou dividir por um número positivo preserva a ordem; multiplicando \dfrac{x}{c}<\dfrac{y}{c} por c>0 recuperamos x<y.
Essas duas regras são tudo que precisamos: somar o mesmo número aos dois lados e dividir (ou multiplicar) por um número positivo mantêm a desigualdade.

Passo 3

Aplique a primeira propriedade à desigualdade a<b somando a em ambos os lados. Assim:
a+a<a+b,
ou seja,
2a<a+b.

Passo 4

Agora aplique a mesma ideia somando b em ambos os lados de a<b. Obtemos:
a+b<b+b,
ou seja,
a+b<2b.

Passo 5

Juntando as duas desigualdades dos passos anteriores temos a cadeia
2a<a+b<2b.
Agora dividimos toda a cadeia por 2. Como 2>0, a divisão por 2 preserva as desigualdades, dando
a<\frac{a+b}{2}<b.
Isto mostra exatamente que a média aritmética \dfrac{a+b}{2} é maior que a e menor que b.

Passo 6

Para fixar a ideia com um exemplo concreto: se a=1 e b=5, a média é \dfrac{1+5}{2}=3, e realmente 1<3<5. Pronto — a prova é simples e segue só usando soma e divisão por número positivo. Você consegue repetir esse raciocínio na prova sem calculadora: é só montar as duas somas e dividir por 2.

Resposta

a<\frac{a+b}{2}<b

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