Mostre que a média aritmética de dois números reais a e b, com a < b, é um número maior do que a e menor do que b.
Passo 1
O enunciado dá dois números reais
e
tais que
. Pede-se para mostrar que a média aritmética desses dois números,
é um número maior que
e menor que
, ou seja, que
Eu usei também a indicação da imagem (que mostra
à esquerda de
), o que corresponde exatamente à hipótese
.
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades básicas de desigualdades que usaremos (e explico por que valem):
- Se
e é qualquer número real, então . Isso vale porque somar o mesmo nos dois lados não altera a diferença: . - Se
e , então . Isso vem do fato de que multiplicar ou dividir por um número positivo preserva a ordem; multiplicando por recuperamos .
Essas duas regras são tudo que precisamos: somar o mesmo número aos dois lados e dividir (ou multiplicar) por um número positivo mantêm a desigualdade.
Passo 3
Aplique a primeira propriedade à desigualdade
somando
em ambos os lados. Assim:
ou seja,
Passo 4
Agora aplique a mesma ideia somando
em ambos os lados de
. Obtemos:
ou seja,
Passo 5
Juntando as duas desigualdades dos passos anteriores temos a cadeia
Agora dividimos toda a cadeia por
. Como
, a divisão por
preserva as desigualdades, dando
Isto mostra exatamente que a média aritmética
é maior que
e menor que
.
Passo 6
Para fixar a ideia com um exemplo concreto: se
e
, a média é
, e realmente
. Pronto — a prova é simples e segue só usando soma e divisão por número positivo. Você consegue repetir esse raciocínio na prova sem calculadora: é só montar as duas somas e dividir por
.