Em um simpósio, 29 pessoas opinaram a respeito de duas palestras
e
.
Dessas pessoas, precisamente:
- 13 assistiram a palestra A
- 5 assistiram as duas palestras
- 6 não assistiram a nenhuma dessas duas palestras.
Sabendo-se que todas as 29 pessoas opinaram, responda quantas pessoas assistiram à palestra
?
Passo 1
O enunciado pede para descobrir quantas pessoas assistiram à palestra
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- Total de pessoas que opinaram:
. - Pessoas que assistiram à palestra
: . - Pessoas que assistiram a ambas as palestras:
. - Pessoas que não assistiram a nenhuma das duas palestras:
.
Passo 2
Conceitos importantes (explicação didática):
- Pense no conjunto de todas as
pessoas como universo. Cada pessoa pode estar em: só , só , em (ambas), ou em nenhuma. - Notação:
significa "quantas pessoas estão em ". é quantas estão em ambas. é quantas assistiram a pelo menos uma das palestras. - Fórmula básica (princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos):
Essa fórmula evita contar duas vezes as pessoas que estão nas duas palestras (por isso subtrai
).
- Relação com os que não assistiram a nenhuma: o total é a soma de quem assistiu a pelo menos uma e de quem não assistiu a nenhuma:
Passo 3
Calcule quantas pessoas assistiram a pelo menos uma palestra (usei os dados do enunciado):
Passo 4
Use a fórmula da inclusão-exclusão para ligar
,
,
e
:
Isolando
obtemos:
Passo 5
Substitua os valores que já temos:
Calcule passo a passo:
Portanto
.
Passo 6
Checagem (dividindo por regiões do diagrama de Venn):
- Só
: . - Só
: . - Ambas:
. - Nenhuma:
.
Somando:, que confere com o total — portanto o resultado está consistente.