Em um simpósio, 29 pessoas opinaram a respeito de duas palestras A e B.
Dessas pessoas, precisamente:
  • 13 assistiram a palestra A
  • 5 assistiram as duas palestras
  • 6 não assistiram a nenhuma dessas duas palestras.
Sabendo-se que todas as 29 pessoas opinaram, responda quantas pessoas assistiram à palestra B ?

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quantas pessoas assistiram à palestra B.
Dados fornecidos:
  • Total de pessoas que opinaram: 29.
  • Pessoas que assistiram à palestra A: |A| = 13.
  • Pessoas que assistiram a ambas as palestras: |A \cap B| = 5.
  • Pessoas que não assistiram a nenhuma das duas palestras: 6.

Passo 2

Conceitos importantes (explicação didática):
  • Pense no conjunto de todas as 29 pessoas como universo. Cada pessoa pode estar em: só A, só B, em A\cap B (ambas), ou em nenhuma.
  • Notação: |A| significa "quantas pessoas estão em A". |A\cap B| é quantas estão em ambas. |A\cup B| é quantas assistiram a pelo menos uma das palestras.
  • Fórmula básica (princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos):
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|
Essa fórmula evita contar duas vezes as pessoas que estão nas duas palestras (por isso subtrai |A\cap B|).
  • Relação com os que não assistiram a nenhuma: o total é a soma de quem assistiu a pelo menos uma e de quem não assistiu a nenhuma:
\text{total} = |A\cup B| + (\text{nenhum})

Passo 3

Calcule quantas pessoas assistiram a pelo menos uma palestra (usei os dados do enunciado):
|A\cup B| = \text{total} - (\text{nenhum}) = 29 - 6 = 23.

Passo 4

Use a fórmula da inclusão-exclusão para ligar |A\cup B|, |A|, |B| e |A\cap B|:
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.
Isolando |B| obtemos:
|B| = |A\cup B| - |A| + |A\cap B|.

Passo 5

Substitua os valores que já temos:
|B| = 23 - 13 + 5.
Calcule passo a passo:
23 - 13 = 10,
10 + 5 = 15.
Portanto |B| = 15.

Passo 6

Checagem (dividindo por regiões do diagrama de Venn):
  • A: |A| - |A\cap B| = 13 - 5 = 8.
  • B: |B| - |A\cap B| = 15 - 5 = 10.
  • Ambas: 5.
  • Nenhuma: 6.
    Somando: 8 + 5 + 10 + 6 = 29, que confere com o total — portanto o resultado está consistente.

Resposta

15

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