Resolver as equaçōes do segundo grau dadas a seguir:
3 x^{2}+5 x-2=0 \quad\left(\int \in R S O\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação quadrática
3x^{2}+5x-2=0.
Informações dadas e pedido:
  • A equação é \;3x^{2}+5x-2=0\;.
  • Queremos encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação (raízes reais).

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta muito útil para resolver equações do tipo \;ax^{2}+bx+c=0\;: a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Ela dá as raízes em função dos coeficientes a, b e c. A fórmula é
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde
\Delta=b^{2}-4ac.
Explicando cada símbolo:
  • a é o coeficiente de x^{2}.
  • b é o coeficiente de x.
  • c é o termo constante.
  • \Delta (discriminante) determina a natureza das raízes: se \Delta>0 temos duas raízes reais distintas; se \Delta=0 temos uma raiz real dupla; se \Delta<0 não há raízes reais.

Passo 3

Identificamos os coeficientes da equação \;3x^{2}+5x-2=0\;:
a=3,\quad b=5,\quad c=-2.

Passo 4

Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta=b^{2}-4ac=5^{2}-4\cdot 3\cdot(-2).
Fazendo as contas passo a passo:
5^{2}=25,
4\cdot 3\cdot(-2)=12\cdot(-2)=-24,
\Delta=25-(-24)=25+24=49.

Passo 5

Como \Delta=49>0, teremos duas raízes reais distintas. Agora aplicamos a fórmula:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-5\pm\sqrt{49}}{2\cdot 3}.
Calculando \sqrt{49}=7 e 2\cdot 3=6, obtemos
x=\frac{-5\pm 7}{6}.
Agora separamos as duas possibilidades:
  1. Com o sinal +:
x_{1}=\frac{-5+7}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
  1. Com o sinal -:
x_{2}=\frac{-5-7}{6}=\frac{-12}{6}=-2.

Passo 6

Verificação rápida (para ter confiança): substituir as raízes na equação original.
  • Para x=\frac{1}{3}:
3\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+5\left(\frac{1}{3}\right)-2 =3\cdot\frac{1}{9}+ \frac{5}{3}-2 =\frac{1}{3}+\frac{5}{3}-2 =\frac{6}{3}-2=2-2=0.
  • Para x=-2:
3(-2)^{2}+5(-2)-2 =3\cdot 4-10-2 =12-10-2=0.
Ambas satisfazem a equação, então as soluções estão corretas.

Passo 7

Observação prática: nesta equação também é possível resolver por fatoração direta, porque \Delta foi um quadrado perfeito. De fato
3x^{2}+5x-2=(3x-1)(x+2),
e das raízes de (3x-1)(x+2)=0 vem x=\frac{1}{3} e x=-2. Isso é um atalho prático em provas quando a fatoração aparece fácil.

Resposta

x=\dfrac{1}{3}
x=-2

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