a) Mostre, por meio de um exemplo, que existe um número irracional a tal que a^4 e a^6 são números racionais.
b) Mostre que, se a^7 e a^12 são racionais, então a é racional.

Passo 1

O enunciado pede para (a) dar um exemplo de número irracional a tal que a^4 e a^6 sejam racionais, e (b) provar que se a^7 e a^12 são racionais, então a também é racional. Vamos usar teoria de potências e o Teorema de Bézout para inteiros.

Passo 2

Para (a) considere a = raiz2. Sabemos que raiz2 é irracional. Então
a^4 = (raiz2)^4 = 2^2 = 4
que é racional, e
a^6 = (raiz2)^6 = 2^3 = 8
que também é racional. Logo esse a satisfaz o pedido.

Passo 3

Para (b) suponha que a^7 = r e a^12 = s são racionais. Pelo Teorema de Bézout, existem inteiros u e v tais que
7u + 12v = 1
Usando o algoritmo de Euclides, encontramos por exemplo
7(-5) + 12(3) = -35 + 36 = 1,
logo podemos tomar u=-5 e v=3. Então

Passo 4

escrevemos
a = a^7u + 12v = (a^7)^u cdot (a^12)^v = r^u cdot s^v
Substituindo u=-5 e v=3, obtemos
a = r^-5 cdot s^3 = s^3r^5,
que é racional. Portanto, a deve ser racional.

Resposta

a) Um exemplo é a = raiz2, pois a^4 = 4 e a^6 = 8 são racionais. b) Se a^7 = r e a^12 = s são racionais, escolhemos inteiros u=-5 e v=3 com 7u+12v=1. Então
a=(a^7)^u(a^12)^v=r^u s^v=tfracs^3r^5, que é racional, logo a é racional.

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