a) Mostre, por meio de um exemplo, que existe um número irracional a tal que
são números racionais.
b) Mostre que, se
e
são racionais, então a é racional.
b) Mostre que, se
Passo 1
O enunciado pede para (a) dar um exemplo de número irracional
tal que
e
sejam racionais, e (b) provar que se
e
são racionais, então
também é racional. Vamos usar teoria de potências e o Teorema de Bézout para inteiros.
Passo 2
Para (a) considere
. Sabemos que
é irracional. Então
que é racional, e
que também é racional. Logo esse
satisfaz o pedido.
Passo 3
Para (b) suponha que
e
são racionais. Pelo Teorema de Bézout, existem inteiros
e
tais que
Usando o algoritmo de Euclides, encontramos por exemplo
logo podemos tomar
e
. Então
Passo 4
escrevemos
Substituindo
e
, obtemos
que é racional. Portanto,
deve ser racional.
Resposta
a) Um exemplo é
, pois
e
são racionais. b) Se
e
são racionais, escolhemos inteiros
e
com
. Então
, que é racional, logo
é racional.