Mostre que o resto da divisão por 3 do produto de dois números naturais quaisquer é igual ao resto da divisão por 3 do produto de seus respectivos restos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois números naturais quaisquer, o resto da divisão de seu produto por 3 coincide com o resto da divisão por 3 do produto dos restos desses números. O conteúdo envolvido é o algoritmo da divisão com resto e a propriedade de congruências (aritmética modular). Vamos usar o Teorema da Divisão para expressar cada número em termos de um quociente vezes 3 mais um resto.

Passo 2

Pelo Teorema da Divisão, existem inteiros q₁, q₂ e restos r₁, r₂ com 0 ≤ r₁, r₂ < 3 tais que
a = 3q1 + r1,
b = 3q2 + r2
Aqui r₁ = a mod 3 e r₂ = b mod 3.

Passo 3

Agora multiplicamos a e b usando essas expressões:
ab = (3q1 + r1)(3q2 + r2) = 9q1q2 + 3(q1r2 + q2r1) + r1r2
Repare que os dois primeiros termos são múltiplos de 3.

Passo 4

Como 9q₁q₂ + 3(q₁r₂ + q₂r₁) é divisível por 3, podemos escrever
ab = 3K + r1r2
para algum inteiro K. Isso mostra que o resto de ab na divisão por 3 é exatamente o resto de r₁r₂.

Passo 5

Por fim, como r₁ = a mod 3 e r₂ = b mod 3, concluímos que o resto da divisão de ab por 3 é igual ao resto da divisão de (a mod 3)·(b mod 3) por 3. Ou seja,
(ab) bmod 3 = l((a bmod 3)(b bmod 3)r) bmod 3

Resposta

Concluímos que (ab) mod 3 = ((a mod 3)·(b mod 3)) mod 3.

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