Mostre que a menor distância do ponto ( x0, y0 ) à reta de equação a x+b y+c=0 (onde a^2+b^2>0) é dada por |a x0+b y0+c|raiza^2+b^2.
9) Encontre a menor distância da elipse de equação x^2+4 y^2=1 à reta de equação x-y=10.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar que a menor distância do ponto (x0,y0) à reta de equação a x+b y+c=0 é
l|a x0+b y0+cr|raiza^2+b^2
(com a^2+b^2>0); em seguida, usar esse resultado para encontrar a menor distância entre a elipse
x^2+4y^2=1
e a reta
x-y-10=0
Vamos primeiro provar a fórmula da distância e depois aplicá-la ao problema da elipse.

Passo 2

Para derivar a fórmula, considere um ponto P0=(x0,y0) e a reta Lcolon a x+b y+c=0. Escolha um ponto arbitrário P=(x,y) em L, então a x+b y+c=0. O vetor diretor normal à reta é n=(a,b), e a distância de P0 a L é o comprimento da projeção do vetor P P0=(x0-x,y0-y) em n. Assim
d=l|P P0cdotnr||n| =l|a(x0-x)+b(y0-y)r|raiza^2+b^2
Como a x+b y+c=0, temos a x+b y=-c, de onde
a(x0-x)+b(y0-y) = a x0+b y0 - (a x+b y) = a x0+b y0+c
Logo
d=l|a x0+b y0+cr|raiza^2+b^2,
como queríamos.

Passo 3

Agora, para qualquer ponto (x,y) da elipse x^2+4y^2=1, a distância à reta x-y-10=0 é
d(x,y) =l|,x - y - 10r|raiz1^2+(-1)^2 =l|,x - y -10r|raiz2
Note que para pontos da elipse x-y é sempre muito menor que 10, logo x-y-10<0 e
l|,x - y -10r| =10 - (x-y)
Minimizar d(x,y) equivale a minimizar 10-(x-y), ou seja a maximizar a função
f(x,y)=x-y
sob a restrição
g(x,y)=x^2+4y^2-1=0

Passo 4

Usamos multiplicadores de Lagrange. Queremos pontos (x,y) tais que
nabla f = lambda,nabla g, g(x,y)=0
Calculamos
nabla f=(1,-1), nabla g=(2x,8y)
O sistema é
1=2lambda x, -1=8lambda y, x^2+4y^2=1
Das duas primeiras equações:
x=12lambda, y=-18lambda
Substituindo em x^2+4y^2=1:
l(12lambdar)^2 +4l(-18lambdar)^2 =14lambda^2+464lambda^2 =14lambda^2+116lambda^2 =516lambda^2 =1 ;Longrightarrow; lambda^2=516
Para maximizar f, escolhemos lambda>0, isto é lambda=raiz54. Então
max(x-y) =fl(12lambda,-18lambdar) =12lambda-l(-18lambdar) =12lambda+18lambda =58lambda =58cdot4raiz5 =52raiz5 =raiz52

Passo 5

Logo a menor distância é
dmin =10 - max(x-y)raiz2 =10 - tfracraiz52raiz2 =20 - raiz52raiz2 =20raiz2-raiz104

Resposta

A menor distância da elipse x^2+4y^2=1 à reta x-y-10=0 é
20-raiz52raiz2 l(ou;20raiz2-raiz104r)

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