Mostre que a menor distância do ponto ( ) à reta de equação (onde é dada por .
9) Encontre a menor distância da elipse de equação à reta de equação .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: primeiro, mostrar que a menor distância do ponto à reta de equação é
(com a^2+b^2>0); em seguida, usar esse resultado para encontrar a menor distância entre a elipse
x^2+4y^2=1
e a reta
x-y-10=0
Vamos primeiro provar a fórmula da distância e depois aplicá-la ao problema da elipse.
Passo 2
Para derivar a fórmula, considere um ponto P0=(x0,y0) e a reta Lcolon a x+b y+c=0. Escolha um ponto arbitrário P=(x,y) em L, então a x+b y+c=0. O vetor diretor normal à reta é n=(a,b), e a distância de P0 a L é o comprimento da projeção do vetor P P0=(x0-x,y0-y) em n. Assim