Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2 n+1}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2 n+1}
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
O conteúdo é séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos extremos
e
.
Passo 2
Seja
. Aplicando o teste da razão a
temos
Para convergir precisamos de
L<1 , ou seja
|x|<1 . Logo o raio de convergência é
Passo 3
Agora testamos os extremos:
Parax=1 a série vira
Para
que diverge por comparação com
sum1/n .
Parax=-1 a série é
Para
que converge pelo critério de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo e tendendo a zero).
Passo 4
Concluímos que a série converge para
|x|<1 , inclui o ponto
x=-1 e não inclui
x=1 . Portanto o intervalo de convergência é
Resposta
Intervalo de convergência:
[-1,1)