Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=1^inftyx^n2n+1
O conteúdo é séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois verificar o comportamento nos extremos x=1 e x=-1.

Passo 2

Seja an=12n+1. Aplicando o teste da razão a an x^n temos
L=limntoinfty|an+1x^n+1an x^n| =limntoinfty|x|2n+12n+3 =|x|
Para convergir precisamos de L<1, ou seja |x|<1. Logo o raio de convergência é
R=1

Passo 3

Agora testamos os extremos:
Para x=1 a série vira
sumn=1^infty12n+1,
que diverge por comparação com sum1/n.
Para x=-1 a série é
sumn=1^infty(-1)^n2n+1,
que converge pelo critério de Leibniz (série alternada com termos decrescentes em módulo e tendendo a zero).

Passo 4

Concluímos que a série converge para |x|<1, inclui o ponto x=-1 e não inclui x=1. Portanto o intervalo de convergência é
[-1,1)

Resposta

R=1
Intervalo de convergência: [-1,1)

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