Mostre que o módulo de um número complexo é invariante sob conjugação:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o módulo de um número complexo não muda se trocarmos o número pelo seu conjugado, ou seja, provar que
O conteúdo aqui é número complexo, conjugação e módulo. Vamos usar a definição de conjugado e a definição de módulo em termos das suas partes real e imaginária.
Passo 2
Seja
, com
. O conjugado de
é
Pela definição, o módulo de um número complexo
é
Passo 3
Aplicando a definição de módulo primeiro em
:
Agora o módulo de
:
Como as expressões são idênticas, concluímos que