Mostre que o módulo de um número complexo é invariante sob conjugação: |\bar{z}|=|z|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o módulo de um número complexo não muda se trocarmos o número pelo seu conjugado, ou seja, provar que
|\bar{z}| = |z|.
O conteúdo aqui é número complexo, conjugação e módulo. Vamos usar a definição de conjugado e a definição de módulo em termos das suas partes real e imaginária.

Passo 2

Seja z = x + i y, com x,y \in \mathbb{R}$ e \(i^2 = -1. O conjugado de z é
\bar{z} = x - i y.
Pela definição, o módulo de um número complexo w = u + i v é
|w| = \sqrt{u^2 + v^2}.)

Passo 3

Aplicando a definição de módulo primeiro em z:
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
Agora o módulo de \bar{z}:
|\bar{z}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}.
Como as expressões são idênticas, concluímos que
|\bar{z}| = |z|.

Resposta

|\bar{z}| = |z|.

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