Resolva a equação z \cdot \bar{z}=25 e descreva geometricamente o conjunto solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação z\cdot\bar{z}=25 e descrever geometricamente o conjunto solução. O conteúdo aqui é números complexos, em particular a relação entre o produto de um número complexo pela sua conjugada e o seu módulo:
z\cdot\bar{z}=|z|^{2}.

Passo 2

Escrevendo z em termos de suas partes real e imaginária, z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, temos
z\cdot\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}.
Logo, a equação z\cdot\bar{z}=25 vira
x^{2}+y^{2}=25.

Passo 3

A equação x^{2}+y^{2}=25 descreve, no plano de Argand–Gauss, todos os pontos (x,y) que estão a uma distância 5 da origem. Ou seja, é a circunferência de centro (0,0) e raio 5.

Resposta

O conjunto solução é
\{\,z\in\mathbb{C}\mid |z|=5\},
isto é, a circunferência de raio 5 centrada na origem do plano complexo.

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