Mostre que
Se A_{(n \times n)} é invertível e A B=A C, então B=C

Passo 1

O enunciado dá que a matriz A é invertível e que existe uma igualdade entre dois produtos: A B = A C. O que nos pedem é mostrar que, sob essas hipóteses, necessariamente B e C são a mesma matriz. Informações relevantes que temos:
\text{(i) } A \text{ é } n\times n \text{ e invertível};éí
\text{(ii) } A B = A C.
Observação sobre dimensões: para os produtos A B e A C estarem definidos, B e C devem ser matrizes com n linhas (por exemplo, n\times m para algum m). Não resolvemos nada ainda, só listamos as hipóteses e o objetivo.

Passo 2

Lembrete importante (definição): dizer que A é invertível significa que existe uma matriz \,A^{-1}\, tal que
A^{-1}A = I_n \quad\text{e}\quad AA^{-1}=I_n,
onde I_n é a matriz identidade n\times n. A matriz identidade I_n tem 1s na diagonal e 0s fora dela, e tem a propriedade de elemento neutro: para qualquer matriz X com dimensões compatíveis,
I_n X = X \quad\text{e}\quad X I_n = X.
Também vamos usar a propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes: para matrizes com dimensões compatíveis, (PQ)R = P(QR).

Passo 3

Justificativa sobre dimensões para poder multiplicar pela esquerda: como A é n\times n e B e C têm n linhas, a inversa A^{-1} também é n\times n, então as multiplicações A^{-1}(AB) e A^{-1}(AC) estão bem definidas. Portanto é legítimo multiplicar a igualdade A B = A C à esquerda por A^{-1}.

Passo 4

Vamos multiplicar a igualdade dada pela esquerda por \,A^{-1}. Aplicando multiplicação à esquerda em ambos os lados obtemos
A^{-1}(A B) = A^{-1}(A C).
Aqui não fizemos nenhum truque além de multiplicar os dois lados da igualdade pela mesma matriz \,A^{-1}.

Passo 5

Usamos associatividade para agrupar os fatores de forma conveniente:
(A^{-1}A)B = (A^{-1}A)C.
A associatividade permite passar do formato A^{-1}(A B) para (A^{-1}A)B (e análogo no outro lado).

Passo 6

Agora aplicamos a propriedade da inversa: A^{-1}A = I_n. Substituindo na igualdade do passo anterior obtemos
I_n B = I_n C.
Como I_n é a identidade, ele não altera uma matriz quando multiplica à esquerda, ou seja I_n B = B e I_n C = C. Portanto das igualdades anteriores segue que B = C.

Passo 7

Comentário didático e exemplo rápido para fixar: o essencial do argumento é que, por A ter inversa, podemos “cancelar” o fator A à esquerda multiplicando por A^{-1}. Se A não fosse invertível isso pode falhar: por exemplo, se A for a matriz nula 0 (que não é invertível), então 0\cdot B = 0\cdot C vale para quaisquer B e C, e não podemos concluir B=C. Exemplo numérico de como o cancelamento funciona quando A é invertível: seja
A = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix}.
Calculando
AB = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 8\\[4pt]15 & 18\end{pmatrix}.
Como A^{-1} = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix}, temos
A^{-1}(AB) = \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 8\\[4pt]15 & 18\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix} = B,
ou seja, multiplicando por A^{-1} recuperamos B, e o mesmo raciocínio vale se tivéssemos começado com AC. Isso ilustra concretamente o passo algébrico feito acima.]

Resposta

B=C

Exercícios relacionados