Mostre que
Se
é invertível e
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá que a matriz
é invertível e que existe uma igualdade entre dois produtos:
. O que nos pedem é mostrar que, sob essas hipóteses, necessariamente
e
são a mesma matriz. Informações relevantes que temos:
Observação sobre dimensões: para os produtos
e
estarem definidos,
e
devem ser matrizes com
linhas (por exemplo,
para algum
). Não resolvemos nada ainda, só listamos as hipóteses e o objetivo.
Passo 2
Lembrete importante (definição): dizer que
é invertível significa que existe uma matriz
tal que
onde
é a matriz identidade
. A matriz identidade
tem
s na diagonal e
s fora dela, e tem a propriedade de elemento neutro: para qualquer matriz
com dimensões compatíveis,
Também vamos usar a propriedade de associatividade da multiplicação de matrizes: para matrizes com dimensões compatíveis,
.
Passo 3
Justificativa sobre dimensões para poder multiplicar pela esquerda: como
é
e
e
têm
linhas, a inversa
também é
, então as multiplicações
e
estão bem definidas. Portanto é legítimo multiplicar a igualdade
à esquerda por
.
Passo 4
Vamos multiplicar a igualdade dada pela esquerda por
. Aplicando multiplicação à esquerda em ambos os lados obtemos
Aqui não fizemos nenhum truque além de multiplicar os dois lados da igualdade pela mesma matriz
.
Passo 5
Usamos associatividade para agrupar os fatores de forma conveniente:
A associatividade permite passar do formato
para
(e análogo no outro lado).
Passo 6
Agora aplicamos a propriedade da inversa:
. Substituindo na igualdade do passo anterior obtemos
Como
é a identidade, ele não altera uma matriz quando multiplica à esquerda, ou seja
e
. Portanto das igualdades anteriores segue que
.
Passo 7
Comentário didático e exemplo rápido para fixar: o essencial do argumento é que, por
ter inversa, podemos “cancelar” o fator
à esquerda multiplicando por
. Se
não fosse invertível isso pode falhar: por exemplo, se
for a matriz nula
(que não é invertível), então
vale para quaisquer
e
, e não podemos concluir
. Exemplo numérico de como o cancelamento funciona quando
é invertível: seja
Calculando
Como
, temos
ou seja, multiplicando por
recuperamos
, e o mesmo raciocínio vale se tivéssemos começado com
. Isso ilustra concretamente o passo algébrico feito acima.]