Mostre que
Se
é quadrada e existe
tal que
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
- Dados:
é uma matriz quadrada e existe também tal que
onde
é a matriz identidade
.
- Pergunta: Mostrar que, se
então
Ou seja: provar que a única solução do sistema homogêneo
é o vetor nulo.
Passo 2
Interpretemos matrizes como aplicações lineares no espaço vetorial
(ou em
, campo
). A matriz
representa uma transformação linear
Explico dois conceitos importantes:
- O núcleo (kernel) de
é o conjunto
- A imagem (ou alcance) de
é
A afirmação que queremos provar é exatamente que
.
Passo 3
Mostro primeiro que
implica que
é sobrejetora (surjetiva), ou seja, sua imagem é todo
. Para ver isso, tome qualquer vetor
. Então
Portanto
é da forma
, logo
. Como
era arbitrário, segue que
ou seja,
é surjetora.
Passo 4
Agora uso um teorema básico sobre aplicações lineares em espaços vetoriais finito-dimensionais: o Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity).
Ele diz que, para a transformação linear dada por ,
Ele diz que, para a transformação linear dada por
Aqui
é chamado posto (rank) de
e
é a nulidade (nullity).
Passo 5
Como já vimos
, temos
Substituindo na igualdade do passo anterior,
logo
. A única subvariedade de dimensão zero é o conjunto formado pelo vetor nulo, então
Passo 6
Concluo o argumento pedido: se
então
, e como
segue que
(Se quiser, existe uma alternativa curta via determinantes: de
segue
, então
, logo
é invertível e tem núcleo nulo — mesma conclusão.)