Mostre que
Se A é quadrada e existe B_{(n \times n)} tal que A B=I, então A X=\mathbf{0} \Rightarrow X=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Dados: A é uma matriz quadrada n\times n e existe B também n\times n tal que
AB=I,
onde I é a matriz identidade n\times n.
  • Pergunta: Mostrar que, se
A X=\mathbf{0},
então
X=\mathbf{0}.
Ou seja: provar que a única solução do sistema homogêneo A X=\mathbf{0} é o vetor nulo.

Passo 2

Interpretemos matrizes como aplicações lineares no espaço vetorial \mathbb{R}^n (ou em \mathbb{K}^n, campo \mathbb{K}). A matriz A representa uma transformação linear
A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\qquad x\mapsto A x.
Explico dois conceitos importantes:
  • O núcleo (kernel) de A é o conjunto
\ker(A)=\{x\in\mathbb{R}^n\mid A x=\mathbf{0}\}.
  • A imagem (ou alcance) de A é
\operatorname{Im}(A)=\{A x\mid x\in\mathbb{R}^n\}.
A afirmação que queremos provar é exatamente que \ker(A)=\{\mathbf{0}\}.

Passo 3

Mostro primeiro que AB=I implica que A é sobrejetora (surjetiva), ou seja, sua imagem é todo \mathbb{R}^n. Para ver isso, tome qualquer vetor y\in\mathbb{R}^n. Então
y = I y = (AB)y = A(By).
Portanto y é da forma A(\text{algum vetor}), logo y\in\operatorname{Im}(A). Como y era arbitrário, segue que
\operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^n,
ou seja, A é surjetora.

Passo 4

Agora uso um teorema básico sobre aplicações lineares em espaços vetoriais finito-dimensionais: o Teorema do Posto-Nulidade (rank-nullity).
Ele diz que, para a transformação linear dada por A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,
\dim(\operatorname{Im}(A))+\dim(\ker(A))=n.
Aqui \dim(\operatorname{Im}(A)) é chamado posto (rank) de A e \dim(\ker(A)) é a nulidade (nullity).

Passo 5

Como já vimos \operatorname{Im}(A)=\mathbb{R}^n, temos
\dim(\operatorname{Im}(A))=n.
Substituindo na igualdade do passo anterior,
n+\dim(\ker(A))=n,
logo \dim(\ker(A))=0. A única subvariedade de dimensão zero é o conjunto formado pelo vetor nulo, então
\ker(A)=\{\mathbf{0}\}.

Passo 6

Concluo o argumento pedido: se A X=\mathbf{0} então X\in\ker(A), e como \ker(A)=\{\mathbf{0}\} segue que
X=\mathbf{0}.
(Se quiser, existe uma alternativa curta via determinantes: de AB=I segue \det(A)\det(B)=1, então \det(A)\neq0, logo A é invertível e tem núcleo nulo — mesma conclusão.)

Resposta

X=\mathbf{0}

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