Problema 1 Suponha que A, B, C, D e E sejam matrizes de tamanhos
\begin{array}{ccccc} A & B & C & D & E \\\ (4 \times 5) & (4 \times 5) & (5 \times 2) & (4 \times 2) & (5 \times 4) \end{array}
Em cada item abaixo, determine se a expressão matricial dada está bem definida, e, para as que estiverem definidas, forneça o tamanho da matriz resultante da operação.
D \cdot B

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a expressão matricial \,D\cdot B\, está bem definida; se estiver, fornecer o tamanho da matriz resultante.
As informações dadas (copiadas do enunciado) são os tamanhos das matrizes:
\begin{array}{ccccc} A & B & C & D & E \\[4pt] (4\times5) & (4\times5) & (5\times2) & (4\times2) & (5\times4) \end{array}]

Passo 2

Regra básica de multiplicação de matrizes (explicação didática). Seja X de tamanho (m\times n) e Y de tamanho (p\times q). A multiplicação X\cdot Y está bem definida se, e somente se, o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y; ou seja, se \;n = p\;. Quando isso acontece, o produto X\cdot Y é uma matriz de tamanho (m\times q).
Por que essa regra? Cada entrada (X\cdot Y)_{ij} do produto é o produto escalar (soma de produtos) da i-ésima linha de X com a j-ésima coluna de Y. Se a linha de X tem n elementos, a coluna de Y também precisa ter n elementos para que o produto escalar faça sentido. Em notação:
(X\cdot Y)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
onde k percorre exatamente o número de elementos comuns (as colunas de X e as linhas de Y).
Exemplo rápido e concreto: se X é (2\times3) e Y é (3\times4), então X\cdot Y está definida e é (2\times4), porque as linhas de X e as colunas de Y têm ambas 3 entradas.

Passo 3

Aplicando a regra ao caso pedido. Pelos dados:
D\\ \text{tem tamanho}\\ \;(4\times2), \qquad B\\ \text{tem tamanho}\\ \;(4\times5).
No esquema da regra, para D temos m=4 e n=2. Para B temos p=4 e q=5. A condição para D\cdot B estar definida é \;n = p\;, ou seja, \;2 = 4\;.

Passo 4

Como \;2 \neq 4\;, a condição não é satisfeita: a quantidade de colunas de D (que é \;2\;) não coincide com a quantidade de linhas de B (que é \;4\;). Portanto não é possível formar os produtos escalares linha×coluna necessários, e o produto \,D\cdot B\, não está bem definido.
Nota útil para a prova: a ordem importa! Aqui D\cdot B não existe. Se alguém perguntar sobre B\cdot D, verifique separadamente (aqui B é (4\times5) e D é (4\times2), então B\cdot D também não existe porque 5\neq4). Já a multiplicação (B^{T})\cdot D existe, pois B^{T} teria tamanho (5\times4) e (5\times4)\cdot(4\times2) daria (5\times2).

Resposta

A expressão \,D\cdot B\, não está bem definida.

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