Mostre que
Se
é invertível e
é tal que
, sendo
, então
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Dado
uma matriz quadrada de ordem , escrita como . - Sabe-se que
é invertível (ou seja, existe uma matriz inversa de ). - Existe um vetor coluna
tal que
onde
é um vetor coluna
.
O que o enunciado pede: mostrar que necessariamente
Passo 2
Definição importante: identidade e ação sobre vetores.
- A matriz identidade de ordem
será denotada por . Ela tem a propriedade de atuar como elemento neutro da multiplicação de matrizes:
para toda matriz
de tamanho compatível. Em particular, para qualquer vetor coluna
vale
Isto é análogo ao número
na multiplicação de escalares: multiplicar por
não muda o vetor.
Passo 3
Definição de inversa de matriz e suas propriedades.
- Como
é invertível, existe uma matriz tal que
- Aqui cada produto é bem definido porque todas são
. A igualdade acima significa que é simultaneamente inverso à esquerda e à direita de ; para matrizes quadradas invertíveis isso ocorre sem ambiguidade.
Passo 4
Operação algébrica legítima: multiplicar a equação dada à esquerda por
.
- Partimos da equação dada pelo enunciado:
- Multiplicamos ambos os lados à esquerda por
. Isso é permitido porque as dimensões combinam: é , é , e é . Assim
Passo 5
Uso da associatividade e da propriedade da inversa para simplificar.
- Multiplicação de matrizes é associativa, então podemos escrever
- Pela propriedade da inversa,
. Logo
- Como visto no Passo 2,
. Portanto juntando tudo:
Isso mostra diretamente que qualquer
que satisfaça
deve ser igual a
.
Passo 6
Argumento de unicidade da solução (útil para prova na prova).
- Suponha que exista outro vetor
tal que . Aplicando o mesmo raciocínio (multiplicando por à esquerda) obtemos . - Assim
. Portanto a solução é única. Isso reforça que escrever não é só uma solução possível, é a única.
Passo 7
Exemplo numérico pequeno para fixar a ideia (faça na prova só se precisar exemplificar).
- Tome
- O determinante de
é , logo é invertível. A inversa de (fórmula da inversa ) é
- Calculando
:
- Conferindo:
. Então o exemplo confirma o resultado geral.]