Mostre que
Se A_{(n \times n)} é invertível e \boldsymbol{x}_{(n \times 1)} é tal que A \cdot \boldsymbol{x}=B, sendo B_{n \times 1}, então \boldsymbol{x}=A^{-1} B

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Dado A uma matriz quadrada de ordem n, escrita como A_{(n\times n)}.
  • Sabe-se que A é invertível (ou seja, existe uma matriz inversa de A).
  • Existe um vetor coluna \boldsymbol{x}_{(n\times 1)} tal que
A \cdot \boldsymbol{x} = B,
onde B é um vetor coluna B_{(n\times 1)}.
O que o enunciado pede: mostrar que necessariamente
\boldsymbol{x} = A^{-1} B.

Passo 2

Definição importante: identidade e ação sobre vetores.
  • A matriz identidade de ordem n será denotada por I. Ela tem a propriedade de atuar como elemento neutro da multiplicação de matrizes:
I\cdot M = M \quad\text{e}\quad M\cdot I = M
para toda matriz M de tamanho compatível. Em particular, para qualquer vetor coluna \boldsymbol{v}_{(n\times1)} vale
I\cdot \boldsymbol{v} = \boldsymbol{v}.
Isto é análogo ao número 1 na multiplicação de escalares: multiplicar por I não muda o vetor.

Passo 3

Definição de inversa de matriz e suas propriedades.
  • Como A é invertível, existe uma matriz A^{-1}_{(n\times n)} tal que
A^{-1}A = AA^{-1} = I.
  • Aqui cada produto é bem definido porque todas são n\times n. A igualdade acima significa que A^{-1} é simultaneamente inverso à esquerda e à direita de A; para matrizes quadradas invertíveis isso ocorre sem ambiguidade.

Passo 4

Operação algébrica legítima: multiplicar a equação dada à esquerda por A^{-1}.
  • Partimos da equação dada pelo enunciado:
A\cdot \boldsymbol{x} = B.
  • Multiplicamos ambos os lados à esquerda por A^{-1}. Isso é permitido porque as dimensões combinam: A^{-1} é n\times n, A é n\times n, e \boldsymbol{x} é n\times1. Assim
A^{-1}(A\cdot \boldsymbol{x}) = A^{-1} B.

Passo 5

Uso da associatividade e da propriedade da inversa para simplificar.
  • Multiplicação de matrizes é associativa, então podemos escrever
A^{-1}(A\cdot \boldsymbol{x}) = (A^{-1}A)\cdot \boldsymbol{x}.
  • Pela propriedade da inversa, A^{-1}A = I. Logo
(A^{-1}A)\cdot \boldsymbol{x} = I\cdot \boldsymbol{x}.
  • Como visto no Passo 2, I\cdot \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}. Portanto juntando tudo:
\boldsymbol{x} = A^{-1} B.
Isso mostra diretamente que qualquer \boldsymbol{x} que satisfaça A\boldsymbol{x}=B deve ser igual a A^{-1}B.

Passo 6

Argumento de unicidade da solução (útil para prova na prova).
  • Suponha que exista outro vetor \boldsymbol{y} tal que A\boldsymbol{y}=B. Aplicando o mesmo raciocínio (multiplicando por A^{-1} à esquerda) obtemos \boldsymbol{y}=A^{-1}B.
  • Assim \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}. Portanto a solução é única. Isso reforça que escrever \boldsymbol{x}=A^{-1}B não é só uma solução possível, é a única.

Passo 7

Exemplo numérico pequeno para fixar a ideia (faça na prova só se precisar exemplificar).
  • Tome
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
  • O determinante de A é \det(A)=2\cdot1-1\cdot1=1, logo A é invertível. A inversa de A (fórmula da inversa 2\times2) é
A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
  • Calculando A^{-1}B:
A^{-1}B=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot3+(-1)\cdot2\\[4pt]-1\cdot3+2\cdot2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Conferindo: A\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}=B. Então o exemplo confirma o resultado geral.]

Resposta

\boldsymbol{x}=A^{-1}B

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