Problema 4 Considere as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] C=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right] E=\left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right]
Em cada item, calcule a expressão dada, ou, caso contrário, explique por que ela não está definida.
C A B
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão C A B — isto é, multiplicar as matrizes C, A e B na ordem dada — ou, se a multiplicação não estiver definida, explicar por quê. As matrizes fornecidas são:
Informações relevantes extraídas do enunciado (dimensões):
A \text{ é } 3\times2,\quad B \text{ é } 2\times2,\quad C \text{ é } 2\times3.ééé]
Passo 2
Antes de calcular, vamos revisar a regra básica de multiplicação de matrizes (isso é importante para a prova!): se X é uma matriz m\times n e Y é uma matriz n\times p, então o produto XY está definido e é uma matriz m\times p. Cada elemento do produto é dado por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
ou seja, pegamos a i-ésima linha de X e a j-ésima coluna de Y e fazemos a soma dos produtos termo a termo (produto escalar linha × coluna). Nota importante: as dimensões internas (o n de m\times n e o n de n\times p) devem coincidir.
Aplicando isso ao nosso caso: queremos C A B. Podemos primeiro calcular C A e depois multiplicar por B. Verificamos dimensões:
C \text{ é } 2\times3 \quad\text{e}\quad A \text{ é } 3\times2,éé
logo C A está definido e será 2\times2. Depois, C A (que será 2\times2) pode ser multiplicado por B (que é 2\times2), então (C A)B também está definido e será 2\times2. Portanto a multiplicação existe e dará uma matriz 2\times2.
Passo 3
Vamos calcular C A. Reescrevendo as matrizes para referência:
O produto C A será uma matriz 2\times2. Denotando CA=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\\ x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}, calculamos cada entrada usando produto linha × coluna: