Problema 4 Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] C=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right] E=\left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right]
Em cada item, calcule a expressão dada, ou, caso contrário, explique por que ela não está definida.
C A B

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão C A B — isto é, multiplicar as matrizes C, A e B na ordem dada — ou, se a multiplicação não estiver definida, explicar por quê. As matrizes fornecidas são:
A = \begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\[4pt] 3 & 1 & 5\end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{pmatrix}, \qquad E = \begin{pmatrix}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado (dimensões):
A \text{ é } 3\times2,\quad B \text{ é } 2\times2,\quad C \text{ é } 2\times3.ééé]

Passo 2

Antes de calcular, vamos revisar a regra básica de multiplicação de matrizes (isso é importante para a prova!): se X é uma matriz m\times n e Y é uma matriz n\times p, então o produto XY está definido e é uma matriz m\times p. Cada elemento do produto é dado por
(XY)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} X_{ik}\,Y_{kj},
ou seja, pegamos a i-ésima linha de X e a j-ésima coluna de Y e fazemos a soma dos produtos termo a termo (produto escalar linha × coluna). Nota importante: as dimensões internas (o n de m\times n e o n de n\times p) devem coincidir.
Aplicando isso ao nosso caso: queremos C A B. Podemos primeiro calcular C A e depois multiplicar por B. Verificamos dimensões:
C \text{ é } 2\times3 \quad\text{e}\quad A \text{ é } 3\times2,éé
logo C A está definido e será 2\times2. Depois, C A (que será 2\times2) pode ser multiplicado por B (que é 2\times2), então (C A)B também está definido e será 2\times2. Portanto a multiplicação existe e dará uma matriz 2\times2.

Passo 3

Vamos calcular C A. Reescrevendo as matrizes para referência:
C = \begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\[4pt] 3 & 1 & 5\end{pmatrix},\qquad A = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] -1 & 2 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
O produto C A será uma matriz 2\times2. Denotando CA=\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\\ x_{21} & x_{22}\end{pmatrix}, calculamos cada entrada usando produto linha × coluna:
  • Cálculo de x_{11} (linha 1 de C · coluna 1 de A):
x_{11} = 1\cdot 3 + 4\cdot (-1) + 2\cdot 1 = 3 - 4 + 2 = 1.
  • Cálculo de x_{12} (linha 1 de C · coluna 2 de A):
x_{12} = 1\cdot 0 + 4\cdot 2 + 2\cdot 1 = 0 + 8 + 2 = 10.
  • Cálculo de x_{21} (linha 2 de C · coluna 1 de A):
x_{21} = 3\cdot 3 + 1\cdot (-1) + 5\cdot 1 = 9 - 1 + 5 = 13.
  • Cálculo de x_{22} (linha 2 de C · coluna 2 de A):
x_{22} = 3\cdot 0 + 1\cdot 2 + 5\cdot 1 = 0 + 2 + 5 = 7.
Portanto
C A = \begin{pmatrix}1 & 10 \\[4pt] 13 & 7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos (C A) B. Temos
C A = \begin{pmatrix}1 & 10 \\[4pt] 13 & 7\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
O produto será uma matriz 2\times2. Denotando (CA)B = \begin{pmatrix}y_{11} & y_{12} \\\ y_{21} & y_{22}\end{pmatrix}, calculamos:
  • Cálculo de y_{11} (linha 1 de CA · coluna 1 de B):
y_{11} = 1\cdot 4 + 10\cdot 0 = 4 + 0 = 4.
  • Cálculo de y_{12} (linha 1 de CA · coluna 2 de B):
y_{12} = 1\cdot (-1) + 10\cdot 2 = -1 + 20 = 19.
  • Cálculo de y_{21} (linha 2 de CA · coluna 1 de B):
y_{21} = 13\cdot 4 + 7\cdot 0 = 52 + 0 = 52.
  • Cálculo de y_{22} (linha 2 de CA · coluna 2 de B):
y_{22} = 13\cdot (-1) + 7\cdot 2 = -13 + 14 = 1.
Portanto
(CA)B = \begin{pmatrix}4 & 19 \\[4pt] 52 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}4 & 19 \\[4pt] 52 & 1\end{pmatrix}]

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