Problema 4 Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] C=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right] E=\left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right]
Em cada item, calcule a expressão dada, ou, caso contrário, explique por que ela não está definida.
C B A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão C B A usando as matrizes dadas abaixo. Vou listar cada matriz e suas dimensões (linhas × colunas):
A=\begin{pmatrix}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\qquad A \text{ tem dimensão } \(3\times 2\).
B=\begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix},\qquad B \text{ tem dimensão } \(2\times 2\).
C=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{pmatrix},\qquad C \text{ tem dimensão } \(2\times 3\).
A pergunta é: calcular C B A ou, se não for possível, explicar por que a expressão não está definida.

Passo 2

Regra fundamental (aula rápida e prática): para multiplicar duas matrizes X e Y na ordem XY é necessário que o número de colunas de X seja igual ao número de linhas de Y.
Se X é m\times n e Y é p\times q, então XY está definido somente se n=p; nesse caso o produto terá dimensão m\times q.
Vou aplicar essa regra às multiplicações envolvidas em C B A. Lembre que, para a expressão C B A ser calculável sem ambiguidade, precisamos conseguir formar uma das duas agrupações usuais: (C B)A ou C(B A). Em qualquer agrupamento o produto requer que cada multiplicação adjacente esteja definida.

Passo 3

Verificando B A:
  • B tem dimensão 2\times 2 (ou seja, número de colunas de B é 2).
  • A tem dimensão 3\times 2 (ou seja, número de linhas de A é 3).
Para que B A esteja definido precisamos ter número de colunas de B igual ao número de linhas de A, isto é 2 = 3. Isso é falso. Logo, a multiplicação B A não está definida.
Como B A não existe, a forma C(B A) também não existe — porque não dá para aplicar C a algo que não existe.

Passo 4

Verificando C B:
  • C tem dimensão 2\times 3 (ou seja, número de colunas de C é 3).
  • B tem dimensão 2\times 2 (ou seja, número de linhas de B é 2).
Para que C B esteja definido precisamos ter número de colunas de C igual ao número de linhas de B, isto é 3 = 2. Isso é falso. Portanto C B também não está definido.
Como C B não existe, a forma (C B)A também não existe.

Passo 5

Conclusão lógica: as duas possíveis formações do produto triplo ( C(B A) e (C B)A) falham porque em cada caso uma das multiplicações adjacentes não está definida por incompatibilidade de dimensões. A associatividade da multiplicação de matrizes ajuda a reordenar parênteses, mas não permite trocar a ordem dos fatores; portanto não há nenhum jeito válido de calcular C B A mantendo a ordem dada.
Dica prática para provas: sempre verifique dimensões das matrizes na ordem dada antes de tentar calcular elementos; isso evita perder tempo tentando multiplicar matrizes incompatíveis.

Resposta

C B A não está definida (não é possível calcular), pois B é 2\times 2 e A é 3\times 2 (logo B A exige 2=3, falso) e também C é 2\times 3 e B é 2\times 2 (logo C B exige 3=2, falso).

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