Mostre que não existe \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe
\lim_{x\to0}\frac{1}{x}.
Estamos no tema de limites de função em ponto de descontinuidade e limites infinitos. Para um limite existir, é preciso que os limites laterais existam e coincidam.

Passo 2

Analisamos primeiro o limite pela direita, isto é
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}.
Dados M>0, queremos mostrar que existe \delta>0 tal que, sempre que 0<x<\delta, tenha \frac{1}{x}>M. Basta escolher \delta = 1/M. De fato, se 0<x<\delta, então
\frac{1}{x} > \frac{1}{\delta} = M,
logo \frac{1}{x}\to +\infty quando x\to0^+.

Passo 3

Agora o limite pela esquerda:
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}.
Dados N<0, escolhemos \delta = -1/N. Se -\delta < x <0, então x é negativo e \lvert x\rvert<\delta, de modo que
\frac{1}{x} < -\frac{1}{\lvert x\rvert} < -\frac{1}{\delta} = N.
Isso mostra que \frac{1}{x}\to -\infty quando x\to0^-.

Passo 4

Como
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty,
os limites laterais não coincidem (nem são finitos). Portanto o limite bidirecional \lim_{x\to0}\frac{1}{x} não existe.

Resposta

Não existe \lim_{x\to0}\frac{1}{x}.

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