Mostre que cada uma das equações a seguir define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
no ponto dado. Além disso, calcule
e
em termos de
:
em
;
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e o ponto
. As tarefas pedidas são:
- Mostrar que essa equação define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
em torno do ponto com . - Calcular
e em termos de .
Passo 2
Vamos trabalhar com a função auxiliar
obtida ao colocar tudo no lado esquerdo da equação dada:
Primeiro verifiquemos que o ponto dado realmente pertence ao conjunto definido por
. Calcula-se
portanto
é uma solução da equação
.
Passo 3
Ideia (explicada de forma prática): para que a equação
defina localmente
como função diferenciável de
e
, basta verificar que a derivada parcial de
em relação a
no ponto não é zero. Quando essa derivada parcial
é diferente de zero, existe (pelo teorema da função implícita) uma única função diferenciável
em torno do ponto tal que
. Também, nessa situação, as derivadas parciais de
podem ser obtidas pela fórmula
onde
são as derivadas parciais de
em relação a
respectivamente. (Aqui cada
é a derivada parcial mantendo as outras variáveis fixas.)
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em forma simbólica. Use o regra da cadeia para a parte com
; se
, então
, etc.
Derivadas:
Agora avalie
no ponto
:
Como
e
, satisfaz-se a condição necessária do teorema da função implícita.
Passo 5
Pelo teorema da função implícita existe, em torno de
, pelo menos uma função diferenciável
tal que
e
. Usando a fórmula das derivadas parciais dadas pelo teorema e as expressões de
obtidas no Passo 4, obtemos:
Passo 6
Como observação final rápida: no ponto
temos
, então
Força aí — a conclusão é limpa: existe a função diferenciável localmente e as derivadas parciais estão dadas pelas fórmulas acima.
Resposta
Existe: sim — pelo teorema da função implícita, pois
satisfaz
e
.\n
\n