Mostre que não existe o seguinte limite
lim (x, y) (0,0) x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe o limite
lim(x,y)to(0,0) x^2-y^2x^2+y^2
O conteúdo é cálculo de limites de funções de duas variáveis e a ideia é verificar se o valor depende do caminho de aproximação a (0,0).

Passo 2

Vamos aproximar pela reta y=0 e depois pela reta x=0.
Quando y=0 temos
x^2-0^2x^2+0^2 =x^2x^2 =1,
portanto
lim(x,0)to(0,0)x^2-y^2x^2+y^2=1
Quando x=0 temos
0^2-y^20^2+y^2 =-y^2y^2 =-1,
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lim(0,y)to(0,0)x^2-y^2x^2+y^2=-1

Passo 3

Para reforçar, aproximamos pela reta y=m,x com m constante. Substituindo y=mx em x^2-y^2x^2+y^2
x^2-(m x)^2x^2+(m x)^2 =x^2(1-m^2)x^2(1+m^2) =1-m^21+m^2,
que depende de m.

Passo 4

Como diferentes caminhos (eixos ou retas y=mx) levam a valores distintos (por exemplo 1 e -1), o limite não pode existir.

Resposta

O limite não existe.

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