Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado:
y cdot e^sen x=x cdot cos y,(0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva implícita
y,e^sin x ;=; x,cos y
e pede a equação da reta tangente a essa curva no ponto (0,0).
Conteúdo: vamos usar diferenciação implícita para encontrar y'=dydx e depois montar a reta tangente y = m(x-0)+0, onde m=y'(0).

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, usando regra do produto e cadeia, temos
ddxl(y,e^sin xr) ;=; ddxl(x,cos yr)
No lado esquerdo,
ddxl(y,e^sin xr) = y',e^sin x ;+; y,e^sin xcos x
No lado direito,
ddxl(x,cos yr) = 1cdotcos y ;+; xcdotl(-sin yr),y' = cos y ;-; x,sin y,y'

Passo 3

Igualando as duas derivadas e reorganizando termos em y', obtemos
y',e^sin x + y,e^sin xcos x ;=; cos y - x,sin y,y',
y'l(e^sin x + x,sin yr) = cos y - y,e^sin xcos x,
y' = cos y ;-; y,e^sin xcos xe^sin x + x,sin y

Passo 4

No ponto (0,0) temos
sin0=0, cos0=1, e^sin0=1, x=0, y=0.
Logo, o coeficiente angular é
y'(0,0) = cos0 - 0cdot1cdotcos01 + 0cdot0 = 11 = 1

Passo 5

A reta tangente no ponto (0,0) com coeficiente angular m=1 é
y = 1cdot(x - 0) + 0 Longrightarrow y = x

Resposta

A equação da reta tangente à curva em (0,0) é
y = x

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