Mostre que não existem os limites
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente mostrar que o limite da função
quando
se aproxima de
não existe. Para isso, vamos trabalhar com limites de funções de várias variáveis e usar a ideia de que, se conseguimos obter valores diferentes ao nos aproximarmos de diferentes caminhos, então o limite não existe. Vamos precisar calcular limites ao longo de diferentes trajetórias para concluir.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de
. Vamos tentar o caminho onde
. Substituindo
por 0 na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
(onde
), o limite é 1.
Passo 3
Agora, vamos escolher outro caminho diferente. Vamos tentar o caminho onde
. Substituindo
por
na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo caminho
, o limite é
.
Passo 4
Observamos que ao nos aproximarmos de
por dois caminhos diferentes, obtivemos dois valores distintos para o limite: 1 e
. Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar do ponto
.
Resposta
Como o limite assume valores diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
, concluímos que o limite
não existe.