Mostre que não existem os limites
lim (x, y) (0,0) x^6(x^3+y^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para a gente mostrar que o limite da função quando se aproxima de não existe. Para isso, vamos trabalhar com limites de funções de várias variáveis e usar a ideia de que, se conseguimos obter valores diferentes ao nos aproximarmos de diferentes caminhos, então o limite não existe. Vamos precisar calcular limites ao longo de diferentes trajetórias para concluir.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de x^6(x^3+0^2)^2 = x^6x^6 = 1 . Vamos tentar o caminho onde . Substituindo por 0 na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo (onde ), o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho diferente. Vamos tentar o caminho onde x^6(x^3 + (x^ 32 )^2)^2 = x^6(x^3 + x^3)^2 = x^6(2x^3)^2 = x^64x^6 = 14 . Substituindo por na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo caminho , o limite é .

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de por dois caminhos diferentes, obtivemos dois valores distintos para o limite: 1 e . Isso significa que o limite depende do caminho escolhido para se aproximar do ponto .

Resposta

Como o limite assume valores diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar de , concluímos que o limite não existe.

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