Mostre que não existem os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe o limite
O conteúdo aqui é limites em várias variáveis e o procedimento consiste em encontrar duas trajetórias de aproximação a
que levem a resultados diferentes.
Passo 2
Considere a trajetória
. Então, para
(mantendo
), temos
e claramente
Logo, ao longo de
, a função diverge para
.
Passo 3
Agora considere a trajetória dada por
com
e
. Note que
quando
. Substituindo na função:
e
Como
é muito menor que
quando
, tem-se
Portanto,
e, como
decai mais rápido que qualquer potência de
, resulta
Logo, ao longo dessa curva, o limite é
.
Passo 4
Como ao aproximar-se de
pela reta
o valor da função vai a
, e pela curva
o valor vai a
, obtemos dois comportamentos distintos.
Resposta
O limite
não existe.