Mostre que não existem os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) x^yx^4+y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe o limite
lim(x,y)to(0,0) x^yx^4+y^2
O conteúdo aqui é limites em várias variáveis e o procedimento consiste em encontrar duas trajetórias de aproximação a (0,0) que levem a resultados diferentes.

Passo 2

Considere a trajetória y=0. Então, para xto0 (mantendo x>0), temos
x^yx^4+y^2 =x^0x^4+0 =1x^4
e claramente
1x^4to +infty
Logo, ao longo de y=0, a função diverge para +infty.

Passo 3

Agora considere a trajetória dada por
x = e^-tfrac1y^2,
com y>0 e yto0. Note que xto0 quando yto0. Substituindo na função:
x^y =l(e^-tfrac1y^2r)^y =e^-tfracyy^2 =e^-tfrac1y,
e
x^4+y^2 =e^-tfrac4y^2+y^2
Como e^-4/y^2 é muito menor que y^2 quando yto0, tem-se
x^4+y^2sim y^2
Portanto,
x^yx^4+y^2 sim e^-tfrac1yy^2
e, como e^-1/y decai mais rápido que qualquer potência de y, resulta
e^-tfrac1yy^2to 0
Logo, ao longo dessa curva, o limite é 0.

Passo 4

Como ao aproximar-se de (0,0) pela reta y=0 o valor da função vai a +infty, e pela curva x=e^-1/y^2 o valor vai a 0, obtemos dois comportamentos distintos.

Resposta

O limite
lim(x,y)to(0,0) x^yx^4+y^2
não existe.

Exercícios relacionados