Para cada item abaixo, encontre os 5 primeiros termos da sequência de somas parciais
e obtenha uma fórmula para
em temos de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os cinco primeiros termos da sequência de somas parciais
associada à série
e também obter uma expressão fechada para
em função de
. Vamos usar decomposição em frações parciais e telescopia.
Passo 2
Cada termo geral é
Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando em cruz,
Igualando coeficientes de
dá
, e o termo constante dá
. Daí
e
, logo
Assim
Passo 3
A soma parcial até
é
Observe que isso telescopa: para
vem
, para
vem
, e assim por diante até
que dá
. Quase tudo cancela, sobrando
Passo 4
Bast a simplificar:
Passo 5
Para os cinco primeiros termos basta substituir
em
:
Resposta
Os cinco primeiros termos são
e a fórmula geral é