Para cada item abaixo, encontre os 5 primeiros termos da sequência de somas parciais sn e obtenha uma fórmula para sn em temos de n.
sumn=1^+infty 5(3 n+1)(3 n-2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os cinco primeiros termos da sequência de somas parciais
sn associada à série
sumn=1^infty 5(3n+1)(3n-2)
e também obter uma expressão fechada para sn em função de n. Vamos usar decomposição em frações parciais e telescopia.

Passo 2

Cada termo geral é
an = 5(3n+1)(3n-2)
Procuramos constantes A e B tais que
5(3n+1)(3n-2) = A3n+1 + B3n-2
Multiplicando em cruz,
5 = A(3n-2) + B(3n+1) = (A+B),3n + (-2A + B)
Igualando coeficientes de n A+B=0, e o termo constante dá -2A + B =5. Daí B=-A e -2A - A = -3A =5, logo
A = -53, B = 53
Assim
an = 53,l(13n-2-13n+1r)

Passo 3

A soma parcial até n é
sn = sumk=1^n ak = 53sumk=1^nl(13k-2-13k+1r)
Observe que isso telescopa: para k=1 vem tfrac11-tfrac14, para k=2 vem tfrac14-tfrac17, e assim por diante até k=n que dá tfrac13n-2-tfrac13n+1. Quase tudo cancela, sobrando
sn = 53l(1 - 13n+1r)

Passo 4

Bast a simplificar:
sn = 53,3n+1 - 13n+1 = 53,3n3n+1 = 5n3n+1

Passo 5

Para os cinco primeiros termos basta substituir n=1,2,3,4,5 em tfrac5n3n+1:
s1 = 5cdot13cdot1+1 = 54, s2 = 5cdot23cdot2+1 = 107, s3 = 5cdot33cdot3+1 = 1510=32,
s4 = 5cdot43cdot4+1 = 2013, s5 = 5cdot53cdot5+1 = 2516

Resposta

Os cinco primeiros termos são
s1 = 54, s2 = 107, s3 = 32, s4 = 2013, s5 = 2516,
e a fórmula geral é
sn = 5n3n+1

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